群论疑问：正规子群满足$G/K \cong H$时是否有$G \cong H \times K$？

我在社区里刷到好多关于这个命题反向情况的讨论，但我自己有个疑问一直没搞明白，想请教大家：

假设$H,K$是群$G$的两个正规子群，而且商群$G/K$和$H$同构，也就是$G/K \cong H$，那这能不能直接推出$G$和$H\times K$同构呢？

我总觉得这事看着有点太“理所当然”了，大概率哪里有漏洞，但我自己梳理了一下思路：

我们都知道，要证明$G \cong H\times K$，只要$H,K$满足两个条件就行：

• $HK = G$，这里$HK$指集合${hk \mid h\in H,k\in K}$（原始提问里用了加法符号，应该是习惯了交换群的写法，换成乘法更贴合一般群论场景）；
• $H\cap K = {e}$，其中$e$是$G$的单位元。

先看第一个条件：从$G/K \cong H$出发，商群里的每个元素都是$K$的陪集，和$H$同构意味着每个$H$中的元素都对应某个陪集$gK$；反过来讲，$G$里的任意元素$g$都能找到对应的$h\in H$和$k\in K$，使得$g=hk$，这不就说明$HK=G$了嘛，所以第一个条件应该是成立的。

那现在问题就全卡在第二个条件上了：

• 如果是有限群的情况，这事就很直观了：根据拉格朗日定理，$|G|/|K|=|H|$，而我们又知道$|G|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}$，把前一个式子代入进去，直接就能算出$|H\cap K|=1$，也就是$H\cap K={e}$，这时候有限群里结论肯定成立。

但麻烦的是无限群的情况啊！我实在想不通，这时候$H\cap K$还一定是平凡子群吗？有没有反例，或者能证明它依然成立的方法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emilia