关于积分微分方程时间依赖性判断方法的合理性问询

嘿，你的这个思路完全站得住脚，这其实是偏微分/积分微分方程里常用的分离变量法的典型应用，专门用来拆解时空耦合的问题。

先给你捋清楚为什么这个操作可行：

• 原方程是线性的，而且右边的算子（空间导数项+积分项）不依赖于时间t，这是关键前提——这类自治的线性方程，分离变量法天然适用。
• 当你把$p(x,t) = p(x)e^{A(t-t_0)}$代入原PIDE时，左边的时间导数$\frac{\partial p}{\partial t}$就变成了$A p(x)e^{{A(t-t_0)}$，右边的两项因为不含t，直接就是$e}{A(t-t_0)}$乘以对应的空间算子作用在$p(x)$上。两边约掉非零的指数项，就得到了你写的那个特征值方程：
  $$Ap(x) = \frac{\partial}{\partial x} (xp(x)) + \int_{0}^{x}p(y) \ dy $$
  这一步推导没毛病。

不过有几个点可能需要你留意，避免遗漏：

1. 解的完备性：你找到的是方程的分离变量解，但原方程的通解是不是所有这类分离变量解的线性组合？这取决于这个空间算子的谱性质——如果它的特征函数系是完备的，那通解可以表示为这些解的叠加；如果有连续谱，可能还要加上积分形式的组合。
2. 初始条件的匹配：当你用这个形式的解时，初始条件$p(x,t_0)=p(x)$需要满足对应的特征值方程，或者如果初始条件不是特征函数，就得用特征函数系展开来匹配。
3. A的取值范围：A可能是实数也可能是复数？这会影响解的稳定性（比如A实部为负的话解会衰减，正的话会增长），需要结合实际问题的物理意义来判断合理的A取值。
4. 边界条件：原问题有没有隐含的边界条件？比如x=0处的行为，或者x→∞时$p(x)$的衰减性？这些会约束$p(x)$的形式，进而影响A的可能取值。

总的来说，你的核心思路是对的，分离变量法就是处理这类线性自治PIDE的标准操作之一，没犯方向性错误，只是要记得把上面这些细节考虑进去就行～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者agaminon