积分换序逻辑及概率相关等式推导咨询

嗨，我来帮你拆解这个积分换序的逻辑，核心就是搞清楚二重积分的积分区域！

先看第一个等式左边的积分：$\int_a^b \int_a^x p(y) f(x) dy dx$，它的积分区域是平面上所有满足 $a \leq y \leq x \leq b$ 的点 $(x,y)$——换句话说，就是在正方形 $[a,b] \times [a,b]$ 里，位于直线 $y=x$ 下方（包括直线上）的区域。

现在要交换积分顺序，也就是把先对$y$积分、再对$x$积分，改成先对$x$积分、再对$y$积分：

• 先确定$y$的取值范围：从$a$到$b$（因为$y$最小是$a$，最大能到$b$，当$x=b$时$y$可以取到$b$）；
• 对于每一个固定的$y$，$x$的取值范围是什么呢？根据原来的区域条件$y \leq x \leq b$，所以$x$要从$y$积分到$b$。

这样一来，积分就变成了$\int_a^b \int_y^b f(x) p(y) dx dy$，这就是第一个等式的由来啦！

至于第二个等式，你已经猜得差不多了：因为累积分布函数$F(x) = \int_a^x f(t) dt$，而概率密度函数的全积分是1，也就是$\int_a^b f(x) dx = 1$，所以$\int_y^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx - \int_a^y f(x) dx = 1 - F(y)$，代入进去就得到了$\int_a^b (1-F(y)) p(y) dy$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者giorgio farace