如何为U型势能散点图拟合贴合形状的边界曲线？

针对你的U型势能散点图，推荐两种实用的曲线拟合方案，直接基于你的现有代码修改即可：

方案1：二次多项式拟合（物理意义匹配U型势能） #

U型分布最贴合二次多项式（对应简谐势这类经典U型势能模型），形式为 U(r) = a*r² + b*r + c，实现步骤如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 你的原有代码
frequencies_first=trajec_first['r'].value_counts().sort_index()
probabilities_first=frequencies_first/frequencies_first.sum()
energies_first=-np.log(probabilities_first)
energies_first0=energies_first.index-radious

# 提取拟合用的x、y数据
x = energies_first0.values
y = energies_first.values

# 拟合二次多项式（degree=2指定二次）
coeffs = np.polyfit(x, y, 2)
fit_func = np.poly1d(coeffs)

# 生成密集的x点让曲线更平滑
x_fit = np.linspace(min(x), max(x), 100)
y_fit = fit_func(x_fit)

# 绘制散点+拟合曲线
plt.plot(x, y, '^', label='5min')
plt.plot(x_fit, y_fit, '-', color='crimson', label='U型拟合曲线')
plt.xlabel('r (micron)')
plt.ylabel('energia (kT)')
plt.legend()

plt.show()

方案2：平滑样条插值（贴合散点细节） #

如果二次拟合不够匹配散点的细节波动，可以用样条插值生成更贴近原始数据的平滑曲线：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import make_interp_spline

# 你的原有代码
frequencies_first=trajec_first['r'].value_counts().sort_index()
probabilities_first=frequencies_first/frequencies_first.sum()
energies_first=-np.log(probabilities_first)
energies_first0=energies_first.index-radious

x = energies_first0.values
y = energies_first.values

# 创建平滑样条（k=3为三次样条，可调整为2贴近二次U型）
spline = make_interp_spline(x, y, k=3)
x_fit = np.linspace(min(x), max(x), 100)
y_fit = spline(x_fit)

# 绘制
plt.plot(x, y, '^', label='5min')
plt.plot(x_fit, y_fit, '-', color='forestgreen', label='平滑拟合曲线')
plt.xlabel('r (micron)')
plt.ylabel('energia (kT)')
plt.legend()

plt.show()

补充说明 #

• 若你的U型存在不对称性，可尝试将多项式阶数调整为3（三次多项式），但二次多项式仍是U型势能的经典物理模型
• 样条插值的平滑程度可通过k参数控制，k=2会更偏向二次U型的形态
• 你的代码已通过sort_index()保证了x数据的有序性，这是拟合的前提条件

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gonzalo Sisniega