利用升幂引理（LTE）求解n² | 2ⁿ+1的自然数n的后续问询

我刚用升幂引理（LTE）部分解决了一道奥赛类型的问题，现在想请大家给点反馈，帮我找找满足条件的其他自然数n。

问题描述 #

寻找自然数$n \in \mathbb{N}$，使得$n^{2} \mid 2^{n}+1$

我的推导过程 #

• 首先应用3-adic赋值的升幂引理：$V_{3}(2^{n}+1)=V_{3}(3)+V_{3}(n)$（这里$V_{3}(3)=1$）
• 因为$n^2$整除$2n+1$，所以$V_{3}(2^{n}+1) \geq V_{3}(n^2)$
• 而$V_{3}(n^2) = 2 \times V_{3}(n)$
• 结合第一步的等式，把$V_{3}(n)$替换为$V_{3}(2^{n}+1) - 1$，代入上式可得：$V_{3}(n^2) = 2 \times (V_{3}(2^{n}+1) - 1)$
• 将这个式子代入第二步的不等式，得到：$V_{3}(2^{n}+1) \geq 2 \times (V_{3}(2^{n}+1) - 1)$
• 令$x=V_{3}(2^{n}+1)$，则不等式简化为$x \geq 2x -2$，解得$x \leq 2$

目前找到的解 #

通过上面的推导，我找到了两个符合条件的解：$n=1$和$n=3$

我的疑问 #

那对于其他是3的倍数的n，有没有可能满足$n^{2} \mid 2^{n}+1$呢？希望大家能给我一些思路或者建议~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者David