关于(p,q)型张量分量定义及相关等式推导正确性的问询

嘿，你的推导思路完全没问题，而且你猜得没错——Schuller教授确实默认使用了爱因斯坦求和约定，这是张量代数和理论物理领域的标准操作，几乎所有相关方向的研究者都会默认采用这个约定，除非特别说明不需要。

先帮你理清几个关键点：

• 爱因斯坦求和约定：当一个指标同时出现在上标和下标位置时，就自动对这个指标的所有可能取值求和（不需要额外写求和符号$\sum$）。你推导里的$a_1,\dots,a_p$和$b_1,\dots,b_q$全都是哑指标——它们只是用来标记求和的占位符，换个字母（比如把$a_i$换成$c_i$）完全不影响结果，因为求和是遍历整个基的维度的。

• 补全推导的最后一步：
  你已经推到了这一步：
  $$T(w_{a_1} \epsilon^{a_1}, \dots, w_{a_p} \epsilon^{a_p}, v^{b_1} e_{b_1}, \dots, v^{b_q} e_{b_q})$$
  根据求和约定，$w_{a_1}\epsilon^{{a_1}$其实就是$\sum_{a_1=1}}n w_{a_1}\epsilon^{a_1}$，这正好是对偶空间元素$w_1$的标准展开式（任何$w \in V^*$都能写成$w = w_i \epsilon^i$，其中$w_i = w(e_i)$）。同理，$v^{b_1}e_{b_1}$就是向量$v_1 \in V$的展开式（$v = v^i e_i$，$v^i = \epsilon^i(v)$）。

  代入后括号里的每一项就是原本的$w_1, \dots, w_p$和$v_1, \dots, v_q$，而张量$T$作为多线性映射，对这些展开后的组合的作用结果，和直接作用在原元素上完全一致，也就是：
  $$T(w_1, \dots, w_p, v_1, \dots, v_q)$$
  这就和左边$T$作用在这些向量/对偶向量上的结果等价，所以等式成立。

• 关于指标的本质：这些$a_i$和$b_i$确实只是哑变量，它们的唯一作用就是标记我们要对基的哪一组分量求和。比如把$T^{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}$换成$T^{c_1\dots c_p}{d_1\dots d_q}$，同时把对应的基元素换成$e_{c_1}\otimes\dots\otimes\epsilon^{d_q}$，结果完全相同——因为求和遍历的是所有基索引，和用什么字母标记无关。

补充一句：严谨的数学教材可能会先明确说明求和约定，但Schuller的这类物理向讲座，受众是有一定基础的学生，所以会直接默认大家熟悉这个规则，不会每次都特意提及，这也是你产生困惑的原因，完全合理。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者weirdmath