一般范数下闵可夫斯基积分不等式的有效性及适用条件问询

在我的测度论课程里，我们只学习了$L_p$范数，所有相关证明全靠霍尔德不等式这个技巧——但它只对$L_p$范数管用，我对此实在不太喜欢。于是我自己摸索出了闵可夫斯基积分不等式的一种证明：虽然步骤稍长，但对满足以下单调性条件的所有范数都成立：

• 若$f\le g$几乎处处成立，则$|f|\le|g|$；同时，若$f=g$几乎处处成立，则$|f|=|g|$
• 若序列${f_n}_{n\in\mathbb{N}}$按上述关系非递减，则$\lim|f_n|=|\lim f_n|$
• 若序列${f_n}_{n\in\mathbb{N}}$按上述关系非递增，且$|f_1|<\infty$，则$\lim|f_n|=|\lim f_n|$

可惜我没法把这个证明推广到所有范数，但上述条件已经是我能想到的最具一般性的范数特征了。之后我遇到了性质截然不同的全变差范数，于是单独针对它完成了证明：

设$f:[0,1]^{2\rightarrow\mathbb{R}$是利普希茨连续函数（其实对更一般的函数也成立，但先简化讨论）。定义范数$H:\mathbb{R}}{[0,1]}\rightarrow\mathbb{R}$，将利普希茨连续函数$f$映射为$|f(0)|+\text{Var}_f[0,1]$。记$f_x:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}:y\mapsto f(x,y)$，$f^y:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto f(x,y)$，$\lambda$为勒贝格测度，此时有：
$$H\bigg(x\mapsto\int f_xd\lambda\bigg)\le\int\Big(y\mapsto H(f^y)\Big)d\lambda.$$

不过到目前为止，我还没找到任何不满足这个不等式的范数。所以我想请教两个问题：

1. 是否存在某个简单的范数，使得闵可夫斯基积分不等式不成立？
2. 范数需要与积分算子满足哪些更精确的关系，才能保证这个不等式成立？

（注：一般范数下的闵可夫斯基积分不等式定义，和我上面给出的全变差范数案例形式一致）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cnikbesku