如何求解满足任意概率阈值的$(1-\frac{1}{a})^b$型概率公式中的比例常数

你观察到的这个规律其实是概率论里常用的极限近似带来的结果，咱们一步步拆解怎么找到任意概率下的这个比例常数：

首先明确核心问题：我们想找到一个固定比例$k = \frac{b}{a}$，使得当事件单次不发生的概率是$(1-\frac{1}{a})$时，重复$b$次后事件至少发生一次的概率达到我们设定的目标值$P$。对应的数学表达式是：
$$1 - \left(1-\frac{1}{a}\right)^b = P$$
也就是单次事件都不发生的概率为：
$$\left(1-\frac{1}{a}\right)^b = 1-P$$

用极限近似简化公式 #

当$a$和$b$都足够大时，我们可以利用概率论里的重要极限：$\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}$（$e$是自然常数，约等于2.71828）。

把$\left(1-\frac{1}{a}\right)^b$变形一下：
$$\left(1-\frac{1}{a}\right)^b = \left[\left(1-\frac{1}{a}\right)^a\right]{\frac{b}{a}}$$
当$a$很大时，$\left(1-\frac{1}{a}\right)^{a$就非常接近$e}{-1}$，所以整个式子可以近似为：
$$\left(1-\frac{1}{a}\right)^b \approx (e^{-1})k = e^{-k}$$
这里$k = \frac{b}{a}$就是我们要找的比例常数。

求解任意概率下的比例常数$k$ #

把近似后的式子代入我们的目标条件$\left(1-\frac{1}{a}\right)^b = 1-P$，得到：
$$e^{-k} = 1-P$$
两边取自然对数（$\ln$是以$e$为底的对数），整理后就能解出$k$：
$$k = -\ln(1-P)$$

举几个实际例子验证 #

• 当目标概率$P=50%$时，$k = -\ln(1-0.5) = -\ln(0.5) = \ln2 \approx 0.6931$，这和你通过试值得到的0.6892非常接近——试值的误差只是因为$a$和$b$不是无穷大，当$a$越大，这个近似值就越精确。
• 当目标概率$P=30%$时，$k = -\ln(0.7) \approx 0.3567$，也就是说当$b \approx 0.3567a$时，$\left(1-\frac{1}{a}\right)^b \approx 0.7$，事件至少发生一次的概率就是30%。
• 当目标概率$P=75%$时，$k = -\ln(0.25) = \ln4 \approx 1.3863$，此时$b \approx 1.3863a$，就能满足至少发生一次的概率为75%。

补充说明 #

这个近似方法的前提是$a$和$b$都足够大，如果$a$很小（比如几十以内），近似值会有明显误差，这时候就需要用原式直接计算$b$的值，而不是依赖比例常数$k$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者B. Witter