请求证明对称化克罗内克德尔塔乘积的迹的通项公式

我最近在研究一个涉及对称化克罗内克德尔塔的问题，卡在了证明通项公式这一步，想请教大家的思路：

首先我定义了这样一个数组：
$$I_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{2n}} = \delta_{(\mu_1\mu_2}\cdots\delta_{\mu_{2n-1}\mu_{2n})}$$
这里的$(\cdots)$表示要对所有指标做对称化处理（同时要除以对称群的阶数，后面我会举例子说明），所有指标的取值范围都是从$1$到$d$。

我的目标是计算这个数组的“迹”，也就是对每一对指标取迹求和，具体表达式是：
$$S_n = \sum_{\mu_1,\mu_3,\cdots\mu_{2n-1}=1}^d I_{\mu_1\mu_1\mu_3\mu_3\cdots\mu_{2n-1}\mu_{2n-1}}$$

我先算了几个小的$n$值验证：

• 当$n=1$时，$I_{\mu_1\mu_2} = \frac{1}{2!}(\delta_{\mu_1\mu_2} + \delta_{\mu_2\mu_1}) = \delta_{\mu_1\mu_2}$，所以$S_1 = d$，这个结果很直观。
• 当$n=2$时，$I_{\mu_1\mu_2\mu_3\mu_4} = \frac{2^3}{4!}(\delta_{\mu_1\mu_2}\delta_{\mu_3\mu_4} + \delta_{\mu_1\mu_3}\delta_{\mu_2\mu_4} + \delta_{\mu_1\mu_4}\delta_{\mu_2\mu_3})$，计算后得到$S_2 = \frac{1}{3}d(d + 2)$。

之后我用计算机暴力计算了更多$n$值，通过拟合多项式系数得到了这些结果：
$$S_3 = \frac{1}{15}d(d+2)(d + 4),\ \ \ \ S_4 = \frac{1}{105}d(d+2)(d+4)(d+6),\ S_5 = \frac1{945}d(d+2)(d+4)(d+6)(d+8).$$

从这些结果里我推测出通项公式应该是：
$$S_n = \frac{1}{(2n-1)!!}\prod_{k = 1}^{n-1}(d + 2k)$$
这里的$x!!$是双阶乘，定义为$x(x-2)(x-4)\cdots$，一直乘到最后一个正整数（如果$x$是奇数就乘到1，偶数乘到2）。

我尝试了好几种方法都没找到通性的证明，希望各位能给我一些思路或者证明方法，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Richard Myers