关于场论中狄拉克δ函数路径积分表示的严谨化理解问询

我目前正在学习MSR形式体系，它用路径积分的语言重新表述随机微分方程（SDE）问题，研究场景是等离子体物理中的湍流。我知道除了费曼-卡茨公式外，路径积分目前还没有真正严谨的数学解释，但我在Canet的一篇论文和某个网站上看到了下面这种函数形式的狄拉克δ函数表示，想搞清楚怎么从严谨角度理解它：

$$\delta(\psi) \sim \int\mathscr{D}\varphi\ e^{-i\int_t\bar{\varphi}\psi}.\tag{1}$$

这里的$\psi$是某个时空标量场，$\mathscr{D}$是所谓的场空间上的“测度”，$\varphi$被称为辅助场或响应场。我能看出来这形式上类似狄拉克δ函数的逆傅里叶变换定义，但具体解析起来有点困难。如果有人能讲讲怎么理解这个等式，我会非常感激！

编辑补充 #

经过进一步研究，我觉得我需要的是白噪声过程微积分！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zach Hunsucker