基于惠更斯原理推导菲涅耳衍射时的指数项化简疑问

我正在研读Driggers所著的《Introduction to Infrared and Electro-Optical Systems》这本书，下面是我基于惠更斯原理推导菲涅耳衍射的过程，同时遇到了一个疑问：

书中公式(4.24)里的$t$应该是$z$，这里先做个笔误纠正。

之前作者推导得到了距离近似式：
$$ r_{12} \approx z \left(1 + \frac{1}{2} \left( \left( \frac{x-x_a}{z} \right)^2 + \left( \frac{y-y_a}{z} \right)^2 \right) \right) $$
我理解$\frac{1}{r_{12}} \approx \frac{1}{z}$这个近似，但对指数项的化简完全摸不着头脑。作者之前推导过一个关于$z^3$的不等式，我猜应该是用这个来做近似，但就是不知道怎么应用。

我自己推导指数项的步骤如下：
$$ jk[r_{12}] \approx jk\left[ z \left(1 + \frac{1}{2} \left( \left( \frac{x-x_a}{z} \right)^2 + \left( \frac{y-y_a}{z} \right)^2 \right) \right)\right] $$
展开后：
$$ jk \left(z + \frac{z}{2} \left( \left( \frac{x-x_a}{z} \right)^2 + \left( \frac{y-y_a}{z} \right)^2 \right) \right) $$
进一步化简分母：
$$ jk \left(z + \frac{z}{2z^2} \left( ( x-x_a )^2 + ( y-y_a)^2 \right) \right) $$
拆分后得到：
$$ jkz + \frac{jk}{2z} \left( ( x-x_a )^2 + ( y-y_a)^2 \right) $$

按照这个推导，我得到的最终表达式是：
$$ A \frac{e^{2jkz}}{z} \iint e^{\frac{jk}{2z} \left( ( x-x_a )^2 + ( y-y_a)^2 \right) } dx_a dy_a, $$
但这个结果和书中的公式(4.26a)对不上，有没有大佬能帮我看看问题出在哪？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ngc1300