关于分段奇函数傅里叶级数计算及Mathematica运行结果异常的技术问询

我最近在求解一个分段定义的奇函数的傅里叶级数问题，函数形式如下：

$$f(x)=\begin{cases}
-1,& -1<x<0 \
1, & 0<x<1
\end{cases}$$

已知该函数在区间$[-1,1]$上是奇函数，所以我先手动计算了傅里叶系数：
$$a_0=0 , \quad a_n=0 , \quad b_n=\frac{4}{n\pi}$$

由此得到傅里叶级数：
$$Sf(x)= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{(2k-1)\pi} \sin[(2k-1) \pi x] $$

为了验证这个结果，我用Mathematica写了一段代码来计算和可视化：

f[x_]=Which[-1<x<0,-1,0<x<1,1]
Plot[f[x],{x,-1,1}]

L=2;

a[n_] := (2/L)*Integrate[f[x]*Cos[2 n*Pi*x/L], {x, -L/2, L/2}]
a[0] := (1/L)*Integrate[f[x], {x, -L/2, L/2}]
b[n_] := (2/L)*Integrate[f[x]*Sin[2 n*Pi*x/L], {x, -L/2, L/2}]

F[x_, Nmax_] := a[0] + Sum[a[n]*Cos[2 n*Pi*x/L] + b[n]*Sin[2 n*Pi*x/L], {n, 1, Nmax}]

p[Nmax_, a_] := 
Plot[Evaluate[F[x, Nmax]], {x, -a, a}, PlotRange -> All, PlotPoints -> 200]

f[x_] = If[x > 0, 1, -1];

a[n]
a[0]
b[n]
Simplify[%, n ∈ Integers]

Table[F[0.5, k], {k, 0, 20}]
p[20,1]

运行这段代码后，我发现Table[F[0.5, k], {k, 0, 20}]的输出结果里，除了第一个值之外，剩下的数值都是重复出现的。有没有大佬能帮我解释一下为什么会出现这种现象？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Athanasios Paraskevopoulos