关于随机变量独立性与Jacod和Protter定理10.1.(c)的技术问询

我的讲师给出了问题15.4的如下解答，但我不太理解其中的独立性论证。已知独立的随机变量$X_i$与$N$是独立的，但从我的理解来看，要使用的定理10.1.(c)似乎要求对于所有$i \in \mathbb{N}$，$(X_1, X_2, \ldots, X_i)$与$Y$都是独立的。我们是否满足这个条件？还是我漏掉了什么？如果是这样的话，应该如何解决这个问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者alcithoe