矩阵正切相关等式证明及表达式推导疑问

嘿，咱们一步步来拆解你遇到的这两个问题，先搞定等式证明，再解决你疑惑的表达式问题~

一、证明 $3\tan{A}=A\tan{3}$ #

首先咱们先分析矩阵 $A=\begin{bmatrix} -1 & 4 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$ 的性质：

1. 求特征值：解特征方程 $\det(A - \lambda I)=0$，代入得：
   $$(-1-\lambda)(1-\lambda) - 2\times4 = 0$$
   展开后是 $\lambda^2 - 1 - 8 = \lambda^2 - 9 = 0$，所以特征值为 $\lambda_1=3$，$\lambda_2=-3$。
2. 矩阵对角化：因为 $A$ 有两个不同的特征值，所以它可以对角化，即存在可逆矩阵 $P$，使得 $A = PDP^{-1}$，其中 $D=\begin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & -3 \end{bmatrix}$。
3. 矩阵正切函数的定义：对于对角化矩阵，矩阵函数 $\tan{A}$ 满足 $\tan{A} = P\tan(D)P^{-1}$，其中 $\tan(D)$ 是对角矩阵，对角元素为对应特征值的正切值，即：
   $$\tan(D)=\begin{bmatrix} \tan3 & 0 \ 0 & \tan(-3) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \tan3 & 0 \ 0 & -\tan3 \end{bmatrix}$$
4. 等式两边推导：
   • 左边：$3\tan{A}=3P\tan(D)P^{-1}=P\begin{bmatrix} 3\tan3 & 0 \ 0 & -3\tan3 \end{bmatrix}P^{-1}$
   • 右边：$A\tan3 = (PDP^{-1})\tan3 = P\begin{bmatrix} 3\tan3 & 0 \ 0 & -3\tan3 \end{bmatrix}P^{-1}$
     两边完全相等，所以 $3\tan{A}=A\tan{3}$ 得证。

二、为什么 $\tan{A}=aA+bI$？ #

这个问题的核心是凯莱-哈密顿定理，咱们来慢慢理清楚：

1. 凯莱-哈密顿定理：任何方阵都满足它自身的特征方程。对于矩阵 $A$，它的特征方程是 $\lambda^2 -9=0$，所以代入矩阵 $A$ 可得：
   $$A^2 -9I=0 \implies A^2=9I$$
   这意味着 $A$ 的任何高次幂都可以降次为 $A$ 和单位矩阵 $I$ 的线性组合，比如 $A^3=A\cdot A^2=9A$，$A4=A^2\cdot A^2=81I$，以此类推。
2. 矩阵函数的展开：正切函数 $\tan{x}$ 可以展开为泰勒级数：
   $$\tan{x}=x+\frac{x^{3}{3}+\frac{2x}5}{15}+\cdots$$
   把 $x$ 替换为矩阵 $A$ 后，$\tan{A}$ 的展开式里所有高次幂的 $A$ 都可以用 $A^2=9I$ 降次，最终整个表达式就只能是 $A$ 和 $I$ 的线性组合，也就是 $\tan{A}=aA+bI$。
3. 确定系数 $a,b$：咱们可以用特征值来求系数：
   • 对于特征值 $\lambda=3$，有 $\tan3 = a\cdot3 + b$
   • 对于特征值 $\lambda=-3$，有 $\tan(-3)=a\cdot(-3)+b$
     因为 $\tan(-3)=-\tan3$，把两个方程联立：
   • 相加得：$\tan3 + (-\tan3)=2b \implies b=0$
   • 相减得：$\tan3 - (-\tan3)=6a \implies a=\frac{\tan3}{3}$
     所以最终 $\tan{A}=\frac{\tan3}{3}A$，这也刚好和前面的等式 $3\tan{A}=A\tan3$ 完全呼应~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Arsenic