关于汤普森《Calculus Made Easy》中负幂求导代数推导步骤的疑问

嘿，别焦虑，脑子疲劳的时候卡壳太正常了！咱们把这个推导拆成细碎的小步骤，你马上就能get到其中的逻辑~

首先，得先拎出两个关键的指数运算性质——不管指数是正还是负，这俩性质都稳稳成立：

• 提取公因子：$x + dx = x \times (1 + \frac{dx}{x})$，你可以把右边展开验证：$x1 + x\frac{dx}{x} = x + dx$，完全没问题。
• 幂的乘积法则：$(a \times b)^n = a^n \times b^n$，反过来也成立，而且这个规则对所有实数指数n都适用，负数指数也不例外。

现在看汤普森的推导步骤：

$y + dy = (x +dx)^{-2} = x^{{-2}(1+\frac{dx}{x})}{-2}$

咱们一步步拆解：

1. 先把$(x + dx)$变形为$x(1 + \frac{dx}{x})$，这就是提取了公因子x；
2. 给整个式子套上-2次方：$(x(1 + \frac{dx}{x}))^{-2}$；
3. 利用幂的乘积法则，把这个拆成$x^{-2} \times (1 + \frac{dx}{x})^{{-2}$——负指数本质就是倒数，比如$a}{-2} = \frac{1}{a^2}$，所以幂的乘积法则对负指数同样生效。

要是你还是有点犯嘀咕，咱们反向验证一下：
把右边的$x^{{-2}(1+\frac{dx}{x})}{-2}$展开，就是$\frac{1}{x^2} \times \frac{1}{(1 + \frac{dx}{x})^2}$。
计算分母：$x^2 \times (1 + \frac{dx}{x})^2 = x^2 \times (\frac{x + dx}{x})^2 = x^2 \times \frac{(x+dx)^2}{x2} = (x+dx)^2$。
所以右边整体就是$\frac{1}{(x+dx)^{2}$，也就是$(x+dx)}{-2}$，和左边完全相等！

说白了就是脑子累的时候，容易把“负指数能不能用幂的乘积法则”这点给忘了，歇口气再看就通透啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者coollikeranch