关于Jim Agler与Mark Stankus论文中l-pure m-等距变换定义的疑问

我目前正在研读Jim Agler和Mark Stankus的一篇名为《m-Isometric Transformations of Hilbertspaces》的论文。

我的疑问是关于定义1.8的理解，论文中给出的定义如下：

Let $T\in L_b(H)$ be an m-isometry and $l$ a positive integer. T is $l$-pure if
T has no nonzero direct summand which is an $l$-isometry.

我尝试解读这个定义，我的理解是：
$\forall M\subset H, M \ closed,\ T-reducible,M^\perp \neq {0}:T\restriction_{M^{\perp}}$ is not an $l$-isometry

按照这个解读，我认为在空间$H={0}$上，每个m-等距变换都是l-pure的。之后作者在(1.10)中借助某个命题进一步论述，对于某个T-可约的闭子空间$H_m$，有：

$T\restriction_{H_m}$ is a pure m-Isometry (if $H_m\neq{0}$)

我不明白作者为什么要加上这个“if”条件，因为即使不了解$H_m$的任何信息，当$H_m=0$时这个陈述显然也是成立的。

因此我的问题有两个：

• 我对定义的解读是否正确？
• 作者为什么要加上这个“if”条件？

提前感谢各位解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BabyWienerSpace