关于证明“勒贝格可测函数中既非几乎没有也非几乎所有为不可积”的技术问询

先明确一个关键前提：我们可以在没有给可测函数集赋予测度的前提下定义“几乎所有”这个概念，这是后续讨论的基础。

先理清勒贝格可积的核心判定规则：

• 一个函数要成为勒贝格可积函数，首先得满足几乎处处有限——也就是函数取无穷值的点构成的集合测度为0；
• 更核心的判定条件是：该函数的绝对值在定义域上的勒贝格积分必须是有限的。

这里要纠正一个常见误区：由伪随机、非均匀点构成的函数，并不一定就不是勒贝格可积的——只要它满足上面两个核心条件，依然可以是可积的。

回到问题本身：我们能不能判定勒贝格可测函数里，可积函数是“多数”或者不可积函数是“多数”？

我积累了大量正反两类例子：既有符合条件的可积可测函数，也有不满足条件的不可积可测函数，但结论是没法直接判定哪一类是“多数”，原因主要有两点：

1. 从基数角度看：勒贝格可测函数集本身是不可数的，而其中可积函数的集合、不可积函数的集合也都是不可数的——基数相同的情况下，没法用“数量多少”来区分两类的占比；
2. 从“占比”的定义角度看：除非我们给可测函数集明确指定一个测度或者某种公认的“大小判定规则”，否则根本没有合理的方式来定义哪一类函数的“占比更高”。

简单总结：两类函数的数量都非常庞大，但没有默认的标准能支撑“可积函数几乎没有”或者“不可积函数几乎所有”这类结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eagle