非线性ODE方程组求解求助：极坐标变换方法疑问
你完全找对方向了！极坐标变换正是解决这类包含$x2+y2$项的非线性ODE系统的绝佳方法，别担心直接设$x=r \cos\theta$、$y=r \sin\theta$没用，咱们一步步来推导，你就明白怎么回事了：
首先明确极坐标与直角坐标的核心关系：$r^2 = x^2 + y^2$（r是极径，非负），$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$（极角）。我们的目标是把原方程组里的$\frac{dx}{dt}$、$\frac{dy}{dt}$转化为关于$\frac{dr}{dt}$和$\frac{d\theta}{dt}$的方程，这样会大幅简化计算。
第一步：计算$\frac{dr}{dt}$
对$r^2 = x^2 + y^2$两边关于t求导，用链式法则可得：
$$2r \frac{dr}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$$
两边约去2后化简为：
$$\frac{dr}{dt} = \frac{x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}}{r}$$
把原方程组的$\frac{dx}{dt} = -y \sqrt{x2+y2}$和$\frac{dy}{dt} = x \sqrt{x2+y2}$代入分子部分（注意$\sqrt{x2+y2}=r$）：
$$x(-y r) + y(x r) = -xy r + xy r = 0$$
所以$\frac{dr}{dt}=0$，这说明极径r是一个常数，记为$r_0$——也就是说，系统的解始终在半径为$r_0$的圆周上运动，不会远离或靠近原点。第二步：计算$\frac{d\theta}{dt}$
对$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$两边关于t求导，利用分式求导法则可得：
$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt}}{x^2 + y^2}$$
同样代入原方程组的导数：
分子部分：$x(x r) - y(-y r) = x^2 r + y^2 r = r(x^2 + y^2) = r^3$
分母部分：$x^2 + y^2 = r^2$
所以$\frac{d\theta}{dt} = \frac{r3}{r2} = r$，因为r是常数$r_0$，所以$\frac{d\theta}{dt}=r_0$。第三步：求解θ(t)并还原回直角坐标
对$\frac{d\theta}{dt}=r_0$积分，得到：
$$\theta(t) = r_0 t + \theta_0$$
其中$\theta_0$是初始角度（t=0时的极角）。
最后把$r=r_0$和$\theta(t)=r_0 t + \theta_0$代入极坐标转直角坐标的公式，就得到原方程组的解：
$$x(t) = r_0 \cos(r_0 t + \theta_0)$$
$$y(t) = r_0 \sin(r_0 t + \theta_0)$$
这里的$r_0$和$\theta_0$由初始条件决定，比如t=0时$x=x_0,y=y_0$，那么$r_0=\sqrt{x_02+y_02}$，$\theta_0$是$(x_0,y_0)$对应的极角（注意根据象限调整取值）。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者M_k
