光滑曲线的基变换与域扩张下的定义及闭点相关技术问询

嘿，咱们一步一步来理清这些概念，别担心，这些问题其实是代数几何里做基变换时非常常见的困惑点，完全值得好好梳理清楚～

第一个问题：基变换后$P$是否成为$C_L$的1次闭点（即$L$-有理点）？ #

答案是完全正确。咱们从闭点的定义入手：曲线$C$上的闭点$P$对应着$k$的有限扩张$k(P)$（称为$P$的剩余域），而$P$的次数就是这个扩张的次数$\deg P = [k(P):k]$。当我们取$L$是包含$k(P)$的$k$的有限扩张时，做基变换$C_L = C \times_k L$，此时$P$在$C_L$中对应的闭点的剩余域是$k(P) \otimes_k L$。由于$k(P) \subset L$，这个张量积就同构于$L$本身（简单来说，因为$k(P)$的元素都可以在$L$里找到，张量积后就是$L$的拷贝），所以这个闭点的剩余域就是$L$，也就是它是$L$-有理点，次数为1。

第二个问题：$C_L$的闭点和$C$的闭点是否存在双射？ #

答案是不存在，它们的关系要更微妙一些，咱们具体拆解：

• 首先，基变换会带来闭点的“分解”：对于$C$上的任意闭点$Q$，设它的剩余域是$K = k(Q)$，那么$Q$在$C_L$中的原像（通过投影映射$C_L \to C$）会分解成若干个闭点，数量等于$K \otimes_k L$分解为域直积的个数。举个直观的例子：假设$k = \mathbb{Q}$，$C$是射影直线$\mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$，闭点$Q$对应二次域$K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$（也就是$\mathbb{P}^{1_\mathbb{Q}$中满足$x}2 = 2$的点）。当我们取$L = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$做基变换时，$K \otimes_\mathbb{Q} L$会分解成两个$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$的拷贝，对应到$C_L$中就是两个不同的$L$-有理点（$x = \sqrt{2}$和$x = -\sqrt{2}$）——这就说明原曲线的一个闭点对应了基变换后的两个闭点，显然不是双射。
• 反过来，$C_L$的每个闭点都会通过投影映射对应到$C$的唯一闭点，但不同的$C_L$闭点可能对应到$C$的同一个闭点（就是上面例子里的情况）。同时，投影映射是满射：$C$上的每个闭点在$C_L$中都有原像。

简单总结的话：基变换后的闭点集合是原曲线闭点集合的“细化”——原有的闭点可能拆分成多个新闭点，而所有新闭点都对应到原闭点上，但不存在一一对应关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者oleout