满足相邻项均值不等式的有界序列收敛性证明思路问询

你好呀！先聊聊你的思路——想通过单调收敛准则来证明，这个方向其实摸到了一点边，但直接硬证原序列单调是走不通的，不过我们可以从给定的不等式里挖出更关键的性质来推进证明~

首先先把原不等式做个变形：

$x_n \geq \dfrac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2}$ （$n \geq 2$）

移项整理后得到：
x_n - x_{n-1} \geq x_{n+1} - x_n

如果我们令差分序列 $d_n = x_n - x_{n-1}$（$n \geq 2$），那上面的式子就等价于：
d_n \geq d_{n+1}

也就是说，差分序列$(d_n)$是单调不增的！这是整个证明的核心突破口。

接下来结合原序列$(x_n)$有界的条件，我们可以分两步推导：

• 先证差分序列$(d_n)$收敛：
  因为$(d_n)$单调不增，那它要么收敛到某个实数，要么趋向于$-\infty$。但如果$d_n \to -\infty$，那么$x_n = x_1 + \sum_{k=2}^n d_k$，这个累加和会随着n增大趋向负无穷，直接和$(x_n)$有界的条件矛盾，所以$(d_n)$一定收敛到某个实数$L$。
• 再证$L=0$：
  • 假设$L < 0$，那么当n足够大时，$d_n < \frac{L}{2}$，此时$x_n = x_1 + \sum_{k=2}^n d_k < x_1 + (n-1)\cdot\frac{L}{2}$，当$n \to \infty$时右边趋向负无穷，和有界矛盾；
  • 假设$L > 0$，因为$(d_n)$单调不增且下界为$L>0$，那么累加和$x_n = x_1 + \sum_{k=2}^n d_k$会趋向正无穷，同样和有界矛盾；
    所以只能是$L=0$，即$d_n \to 0$。

最后一步，我们可以用上极限和下极限来证明原序列收敛：
设$\limsup_{n\to\infty} x_n = S$，$\liminf_{n\to\infty} x_n = s$。因为$(d_n)$单调不增且趋向0，对于任意$\epsilon>0$，存在N，当n>N时，$-\epsilon < d_n < \epsilon$。结合凸序列的性质（从原不等式可归纳出$x_n \leq \frac{x_{n-k}+x_{n+k}}{2}$对任意正整数k成立），可以推导出$S = s$，因此$(x_n)$收敛。

补充一句：你之前想证原序列单调的思路，其实原序列不一定是单调的哦！比如构造序列$x_n = \frac{1}{n} + (-1)^n \frac{1}{n^2}$，它满足原不等式且有界，但并不是单调序列，所以直接证单调性是走不通的，但差分单调这个性质才是正确的切入点~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam_math