如何为乘法网格法构建数学方程式并证明其与乘法定义等价？
当然可以做到！你其实已经摸到门槛了，只是需要把数字的位值展开用求和符号正式表达出来就行。咱们一步步拆解清楚：
第一步：用求和式表示数字的位值展开
十进制下，任何正整数都可以拆成「各位数字 × 对应10的幂次」的和。比如你例子里的34，就是$3 \times 10^1 + 4 \times 10^0$；13则是$1 \times 10^1 + 3 \times 10^0$。
我们可以用通用的求和式来描述这个展开：
假设正整数$r$有$m$位（从右往左数，个位是第0位），那么：
$$r = \sum_{i=0}^{m-1} r_i \times 10^i$$
这里的$r_i$就是$r$的第$i$位数字，比如34的$r_0=4$（个位）、$r_1=3$（十位）。
同理，另一个正整数$s$如果有$n$位，就可以写成：
$$s = \sum_{j=0}^{n-1} s_j \times 10^j$$
第二步：写出网格法对应的数学方程式
网格法的核心其实就是乘法对加法的分配律——把两个数的位值展开式相乘，再把所有两两相乘的项加起来。用数学式表达就是：
$$r \times s = \left( \sum_{i=0}^{m-1} r_i \times 10^i \right) \times \left( \sum_{j=0}^{n-1} s_j \times 10^j \right)$$
根据分配律，这个乘积可以展开成双重求和的形式，这就是网格法的精准数学表达：
$$r \times s = \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} (r_i \times s_j) \times 10^{i+j}$$
对应你举的34×13的例子：
- $r_0=4$、$r_1=3$；$s_0=3$、$s_1=1$
- 代入双重求和后就是：
$(3×1)×10^{1+1} + (3×3)×10^{1+0} + (4×1)×10^{0+1} + (4×3)×10^{0+0}$
计算出来就是300 + 90 + 40 + 12，和你网格里的所有格子求和结果完全一致！
第三步：证明与乘法定义等价
接下来我们要证明这个式子和「乘法是连续加法」的定义等价。回忆乘法的基础定义：对于正整数$r,s$，
$$r \cdot s = \sum_{k=1}^{s} r$$
我们可以通过分配律和归纳思路来推导：
- 当$s$是单个数字时：比如$s=s_0$，那么$r×s_0$本质就是$s_0$个$r$相加，也就是$\sum_{k=1}^{s_0} r$。而根据位值展开式，$r×s_0 = \sum_{i=0}^{m-1} (r_i × s_0) ×10^i$，这其实就是$s_0$个$r$的展开式相加的结果（每个$r$的展开式是$\sum r_i10^i$，加$s_0$次就等于$\sum r_i10^i ×s_0$），两者完全一致。
- 当$s$是多位数时：比如$s = s_1×10 + s_0$，根据乘法分配律，$r×s = r×(s_1×10) + r×s_0$。其中$r×(s_1×10)$是10个$r×s_1$相加，也就是$\sum_{k=1}^{10} (r×s_1)$；而$r×s_1$本身就是$\sum_{k=1}^{s_1} r$，所以10个这个就是$\sum_{k=1}^{10s_1} r$。再加上$r×s_0$对应的$\sum_{k=1}^{s_0} r$，总和就是$\sum_{k=1}^{10s_1 + s_0} r = \sum_{k=1}^s r$，完美符合乘法的连续加法定义。
这样一来，我们就把网格法的计算步骤转化成了严谨的数学方程式，还证明了它和乘法的基础定义等价，足以反驳那种“乘法只有方法没有公式”的说法啦！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Atharva Shukla
