含摩擦的最速降线问题（代换与部分分式积分）

嘿，我来帮你拆解这个微分方程的化简过程！这个含摩擦的最速降线问题的变形确实需要一点技巧，不过跟着下面的步骤一步步走，应该就能完全搞懂了。

首先先明确我们要处理的方程：

原方程（来自MathWorld的(29)(30)行）：
$$\left( 1 + y' ^ 2\right) \left( 1 + \mu y' \right) + 2 \left( y - \mu x \right) y'' = 0$$
目标是化简为：
$$\frac{1 + y' ^ 2}{\left( 1 + \mu y' \right)^2} = \frac{C}{y - \mu x}$$

第一步：做变量代换，转化为可分离变量方程 #

咱们先引入两个代换，对应题目里说的“two substitutions”：

1. 令 ( z = y - \mu x )，这是因为目标方程的分母就是这个式子，先把它单独拎出来。对x求导可得：
   ( z' = y' - \mu )，也就是 ( y' = z' + \mu )；再求二阶导：( z'' = y'' )。
2. 再令 ( p = y' )（这是微分方程里常用的降阶代换），那么 ( y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} = \frac{dp}{dz}(p - \mu) )（因为 ( z' = p - \mu )）。

把这些代换代入原方程，整理一下：
[
(1 + p^2)(1 + \mu p) + 2 z \cdot \frac{dp}{dz}(p - \mu) = 0
]
把含导数的项移到一边，其他项移到另一边，就得到了可分离变量的形式：
[
\frac{2(p - \mu)}{(1 + p^2)(1 + \mu p)} dp = - \frac{dz}{z}
]

第二步：部分分式分解与积分 #

现在左边的分式需要做部分分式分解，这就是题目提到的“partial fractions integration”环节。我们假设：
[
\frac{2(p - \mu)}{(1 + p^2)(1 + \mu p)} = \frac{A p + B}{1 + p^2} + \frac{C}{1 + \mu p}
]
两边同乘分母 ( (1 + p^2)(1 + \mu p) )，展开后整理同类项：
[
2(p - \mu) = (A\mu + C)p^2 + (A + B\mu)p + (B + C)
]
对应系数相等，得到方程组：

• ( A\mu + C = 0 )（p²项系数为0）
• ( A + B\mu = 2 )（p项系数为2）
• ( B + C = -2\mu )（常数项为-2μ）

解这个方程组很简单：
从第一个方程得 ( C = -A\mu )，代入第三个方程得 ( B = A\mu - 2\mu )，再代入第二个方程可算出 ( A=2 )，进而得到 ( B=0 )，( C=-2\mu )。

所以部分分式分解的结果是：
[
\frac{2(p - \mu)}{(1 + p^2)(1 + \mu p)} = \frac{2p}{1 + p^2} - \frac{2\mu}{1 + \mu p}
]

接下来对两边分别积分：

• 左边积分：(\int \left( \frac{2p}{1 + p^2} - \frac{2\mu}{1 + \mu p} \right) dp = \ln(1 + p^2) - 2\ln|1 + \mu p| + K_1)
• 右边积分：(-\int \frac{dz}{z} = -\ln|z| + K_2)

把常数项合并成一个新的常数项 ( \ln C )（C为正的常数，用来吸收所有常数项），然后利用对数的性质整理：
[
\ln\left( \frac{1 + p^2}{(1 + \mu p)^2} \right) = \ln\left( \frac{C}{z} \right)
]

最后去掉对数（因为物理问题中 ( z = y - \mu x ) 是正数，所以可以直接去掉绝对值），再把 ( p = y' )、( z = y - \mu x ) 代回去，就得到了目标方程：
[
\frac{1 + y' ^ 2}{\left( 1 + \mu y' \right)^2} = \frac{C}{y - \mu x}
]

这样整个推导过程就完成啦！核心就是那两个代换把复杂的二阶微分方程转化为可分离变量的形式，再通过部分分式积分来求解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cactusman