旅行商问题（TSP）变体算法的时间复杂度咨询

嗨，我来帮你拆解这个问题~ 你提到的这种“每个节点至少访问一次、允许重复访问”的TSP变体，其实在正权图里可以很自然地转化为经典TSP问题来求解，下面我就把相关的复杂度细节给你理清楚：

首先，核心思路是先预处理出所有节点对之间的最短路径：因为允许重复访问节点，最优路径里绝不会出现“绕远路重复走某段”的情况——毕竟边权都是正的，直接走两点间的最短路径肯定比绕路更优。所以我们可以先构建一个完全图，其中任意两个节点u、v之间的边权等于原图中u到v的最短路径长度，这样原问题就等价于在这个完全图上求解经典TSP（每个节点恰好访问一次的环）。

接下来分两部分看时间复杂度：

• 第一步：计算所有节点对的最短路径
  • 如果是稠密图（边数m接近n²），用Floyd-Warshall算法，时间复杂度是O(n³)，其中n是节点总数。
  • 如果是稀疏图（边数m远小于n²），对每个节点跑一次Dijkstra算法（用优先队列优化），时间复杂度是O(n(m + n log n))。
• 第二步：求解经典TSP的最短环
  • 精确解法：目前最常用的动态规划方法，时间复杂度是O(n²2ⁿ)，空间复杂度是O(n2ⁿ)。这个复杂度是指数级的，所以当n超过20左右时，精确解法就会变得非常慢。
  • 近似解法：如果不需要精确解，针对无向正权图有Christofides算法，时间复杂度O(n³)，能给出不超过最优解1.5倍的结果；但如果是有向正权图，目前没有这么好的近似比的多项式算法，不过可以用一些启发式算法（比如遗传算法、模拟退火）来快速得到较优解，这类算法的时间复杂度通常是可调的，取决于迭代次数和问题规模。

另外，你提到的那个相关算法，本质上应该就是基于这个“最短路径预处理+经典TSP求解”的思路，所以它的复杂度就是上面两步的复杂度之和~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AmirHosein Adavoudi