霍夫曼《线性代数》第6.3节习题10的证明正确性验证

问题回顾 #

Let $V$ be the vector space of $n\times n$ matrices over the field $F$. Let $A$ be a fixed $n\times n$ matrix. Let $T$ be the linear operator on $V$ defined by $T(B)=AB$. Show that the minimal polynomial for $T$ is the minimal polynomial for $A$.

你的证明完全正确！我来帮你拆解关键逻辑，确认每一步的合理性： #

• 基的选取：你选择的标准基 $E={E_{pq}|\ p,q\in J_n}$（其中$E_{pq}$是仅$(p,q)$位置为1、其余为0的矩阵）是$V$的一组直观且好用的标准基，这个选择完全合理。
• 算子矩阵的构造：基于这个基得到的算子$T$的矩阵$P$是分块对角矩阵，每个对角块都是$A$——这个结论是对的，因为$T(E_{pq})=AE_{pq}$，而$AE_{pq}$就是把$A$的第$q$列放到结果矩阵的第$p$行，对应到基下的坐标恰好形成分块对角的$P$。
• 多项式作用的推导：你通过展开证明了$P^{k$是分块对角且每个块为$A}k$，进而推出$f(P)$是分块对角且每个块为$f(A)$，这一步是核心！它直接建立了$f(T)=0$和$f(A)=0$的等价关系：$f(T)$对应的矩阵$f(P)$为零矩阵，当且仅当每个对角块$f(A)$都是零矩阵。
• 极小多项式的互推：根据极小多项式的定义，$m_T$是满足$m_T(T)=0$的次数最低的首一多项式，所以$m_T(A)=0$，这说明$A$的极小多项式$m_A$整除$m_T$；反过来，$m_A(A)=0$推出$m_A(P)=0$，即$m_A(T)=0$，所以$m_T$整除$m_A$。由于两个首一多项式互相整除，必然相等，这个结论完全成立。

整体思路清晰，逻辑链完整，没有漏洞，是一个标准且漂亮的证明！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user264745