无区分白房间的90人分组排列组合问题求解及思路验证

先把问题再明确一遍，避免理解偏差：

现有2间完全不可区分的白色房间，1间灰色房间，要安排90个人，每个房间恰好30人。我们的计数规则是：

• 在意谁和谁同处一室，也在意这个人是在白色还是灰色房间
• 两间白色房间没有区别（比如把房间A的人换到房间B，不算新的安排）
  问总共有多少种不同的安排方式？

你的思路有部分是对的，但中间的重复计数处理搞错了，咱们一步步理清楚：

• 第一步选30人去灰色房间：$\binom{90}{30}$，这一步完全没问题。因为灰色房间是唯一的，选出来的这组人的“身份”（在灰色房）是明确的，不会和白色房的分组产生混淆。
• 剩下的60人要分到两间白色房间，每间30人。这里你一开始写的 $\binom{60}{30} \times \binom{30}{30}$ 其实等价于 $\binom{60}{30}$（因为 $\binom{30}{30}=1$），这是把两间白色房间当成可区分的情况来算的——比如默认“第一间白房”和“第二间白房”是不同的，但题目里说两间白房不可区分，这时候就出现了重复计数：比如“选组X去白房1，组Y去白房2”和“选组Y去白房1，组X去白房2”，在题目规则里是同一种安排，所以要除以2!来消除这种重复。
• 你提到的除以3!是错误的，因为只有两间白色房间是同类的，灰色房间是独一无二的——灰色房和白色房的区分是绝对的，不存在“把灰色房和白房互换算同一种”的情况，所以根本不需要除以3的阶乘。

所以最终的正确计算式应该是：
$$\binom{90}{30} \times \frac{\binom{60}{30}}{2!}$$

再换个角度理解：如果所有房间都可区分（比如白1、白2、灰），那总安排数是 $\binom{90}{30} \times \binom{60}{30}$，但因为白1和白2不可区分，所以每一种实际安排都被重复算了2次，所以要除以2!，就得到了我们需要的结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anac0ndA