隐式与显式偏导结果差异的疑问及学分咨询

先别着急，你的结果和教授的其实是完全等价的，只是表现形式不同而已，你完全有理由向教授争取对应的学分！下面给你一步步拆解清楚：

为什么两个表达式看起来不同但实际相等？ #

你先通过显式变形解出了 $z = \frac{1-xe^y}{y+ex}$，然后求导得到：
$$ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-e^y(y+ex)-e^x(1-xey)}{(y+e^x)2} $$
（这里提个小细节：你分子里第一项的符号写错了，对$1-xe^{y$求x的偏导应该是$-e}y$，不过这个笔误不影响最终的等价性）

现在把你得到的显式$z$代入教授用隐式求导得到的结果里：
$$ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{e^y+zex}{(y+e^x)} $$
将$z = \frac{1-xe^y}{y+ex}$代入分子部分：
$$ e^y + ze^x = e^y + \frac{(1-xe^y)ex}{y+e^x} = \frac{e^y(y+ex) + (1-xe^y)ex}{y+e^x} $$
再把这个结果代回教授的表达式：
$$ -\frac{\frac{e^y(y+ex) + (1-xe^y)ex}{y+e^x}}{(y+ex)} = -\frac{e^y(y+ex) + (1-xe^y)ex}{(y+e^x)2} $$
整理分子的符号后，就会和你修正笔误后的显式求导结果完全一致！

关于学分的建议 #

你可以拿着这个等价推导去找教授沟通——显式求导和隐式求导都是偏微分计算的合法方法，只要你的计算过程（除了那个小符号笔误）逻辑正确，教授没有理由不给你学分。毕竟两种方法只是路径不同，最终的数学本质是一样的。

补充：你计算里的小笔误修正 #

再明确一下那个符号问题：对分子$1-xe^{y$关于x求偏导，因为$e}y$对x来说是常数，所以结果是$-e^{y$，不是$+e}y$。修正后的显式求导结果应该是：
$$ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-e^y(y+ex)-e^x(1-xey)}{(y+e^x)2} $$
修正后和代入z后的教授结果就完全匹配了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者yusufff