紧区间上凸Lipschitz函数线性插值的误差界及文献求助

误差界结论 #

对于定义在紧区间$[a,b]$上的Lipschitz凸函数$f$，其线性插值存在明确的误差界：

1. 基础误差界：设$L$为$f$的Lipschitz常数，取区间内任意两点$x_0, x_1$，对应的线性插值函数为$P_1(x)$，则对所有$x \in [x_0, x_1]$，有
   $$|f(x) - P_1(x)| \leq \frac{L}{2}|x_1 - x_0|$$
2. 凸性优化后的误差界：利用凸函数的次梯度性质（无需函数可微），可得到更精细的误差估计：
   $$|f(x) - P_1(x)| \leq \frac{L}{8}|x_1 - x_0|$$
   该界的推导基于凸函数次梯度的单调性与Lipschitz性质的结合，即使函数不可微依然成立。

参考文献 #

• Convex Analysis (R.T. Rockafellar)：系统阐述了凸函数的次梯度理论、Lipschitz凸函数的核心性质，是误差界推导的核心理论依据。
• Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators (H. Triebel)：覆盖了Lipschitz函数插值的一般误差估计框架，包含凸函数特殊情形的相关结论。
• Numerical Analysis (R.L. Burden & J.D. Faires)：在插值章节中对Lipschitz函数的线性插值误差有基础讨论，结合凸函数性质可延伸得到对应误差界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Maziar Salahi