构建网格图顶点与边集及判断欧拉回路的技术咨询

嗨，我来帮你梳理清楚这个问题！首先不用纠结题目没给出m和n的具体值——这类问题的核心就是让你针对任意正整数m、n做一般性分析，找出满足欧拉回路存在条件的m、n组合就行。

先帮你把这个图的结构拆解明白：

• 顶点集V：这本质上是一个m行n列的网格里的所有格子，每个顶点用坐标(i,j)表示，i是1到m的行号，j是1到n的列号，说白了就是个m×n的完全网格连接图（注意不是普通的相邻格子相连，是同整行或同整列的所有顶点之间都有边）。
• 边集E：两个顶点之间有边，当且仅当它们在同一行（i=k但j≠l）或者同一列（j=l但i≠k），也就是每个顶点会和所在行、列的所有其他顶点都相连。

接下来咱们聚焦到欧拉回路的判定核心：每个顶点的度数必须是偶数（同时图得是连通的，这个图显然满足——随便两个顶点都能通过行/列的边连通）。

咱们来计算任意顶点(i,j)的度数：

1. 同一列共有m个顶点，去掉自身，有m-1条边；
2. 同一行共有n个顶点，去掉自身，有n-1条边；
3. 该顶点的总度数为：$$(m-1)+(n-1) = m + n - 2$$

现在就看这个度数为偶数的条件：

m + n - 2 是偶数 ↔ m + n 是偶数 ↔ m和n同奇偶（要么都是奇数，要么都是偶数）

举几个例子验证下： #

• 当m=2，n=2（都是偶数）：每个顶点度数是2+2-2=2（偶数），确实存在欧拉回路，比如(1,1)→(1,2)→(2,2)→(2,1)→(1,1)；
• 当m=3，n=3（都是奇数）：每个顶点度数是3+3-2=4（偶数），满足条件；
• 当m=2，n=3（一奇一偶）：每个顶点度数是2+3-2=3（奇数），不存在欧拉回路。

另外顺便提一下问题里的第一个图（7位比特串图）：
每个7位比特串，汉明距离≤2的相邻顶点数量是：

• 汉明距离1的串：$\binom{7}{1}=7$个
• 汉明距离2的串：$\binom{7}{2}=21$个
  总度数是7+21=28（偶数），而且这个图是连通的（任意两个串都能通过每次改1位的路径连通，改1位的边属于距离≤2的范畴），所以这个图也存在欧拉回路。

最终结论： #

• 问题(2)的网格图：当且仅当m和n同奇偶（均为奇数或均为偶数）时，存在欧拉回路；
• 问题(1)的7位比特串图：存在欧拉回路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rolling_dog