求解欧拉方程特解中的系数A和B

嘿，我来帮你一步步算出A和B！你已经找对了特解的形式，接下来只需要把特解代入方程，比较对应项的系数就能得到结果啦，这里给你两种方法参考：

方法一：直接对x的函数求导代入原方程 #

你已经得到特解形式：$y_p = (A\ln x + B)x^4$，我们先计算它的各阶导数：

1. 一阶导数：
   $$
   y_p' = A \cdot \frac{1}{x} \cdot x^4 + (A\ln x + B) \cdot 4x^3 = (4A\ln x + A + 4B)x^3
   $$
2. 二阶导数：
   $$
   y_p'' = 4A \cdot \frac{1}{x} \cdot x^3 + (4A\ln x + A + 4B) \cdot 3x^2 = (12A\ln x + 7A + 12B)x^2
   $$
3. 三阶导数：
   $$
   y_p''' = 12A \cdot \frac{1}{x} \cdot x^2 + (12A\ln x + 7A + 12B) \cdot 2x = (24A\ln x + 26A + 24B)x
   $$

接下来把这些导数代入原方程 $x^3 y''' - 3x^2 y'' + 6xy' - 6y = x^4 \ln x$，逐项计算左边：

• $x^3 y''' = (24A\ln x + 26A + 24B)x^4$
• $-3x^2 y'' = (-36A\ln x -21A -36B)x^4$
• $6xy' = (24A\ln x +6A +24B)x^4$
• $-6y_p = (-6A\ln x -6B)x^4$

把所有项合并，提取$x^4$后整理同类项：

• 含$\ln x$的项系数：$24A -36A +24A -6A = 6A$
• 常数项（不含$\ln x$）：$(26A-21A+6A) + (24B-36B+24B-6B) = 11A +6B$

原方程右边是$x^4 \ln x$，对应系数为$\ln x$项是1，常数项是0。因此列方程：

1. $6A = 1 \implies A = \frac{1}{6}$
2. $11A +6B = 0$，代入$A=\frac{1}{6}$得：$11 \cdot \frac{1}{6} +6B=0 \implies B = -\frac{11}{36}$

方法二：利用变量替换后的常系数方程计算 #

你已经做了$x=e^t$（即$t=\ln x$），原欧拉方程转化为常系数线性方程：
$$
D(D-1)(D-2)y -3D(D-1)y +6Dy -6y = t e^{4t}
$$
其中$D=\frac{d}{dt}$。整理左边的微分算子：
$$
D^3 -6D^2 +11D -6
$$

设特解$y_p=(At+B)e^{4t}$，计算它的各阶导数代入算子：

• $y_p'=(4At +A+4B)e^{4t}$
• $y_p''=(16At +8A+16B)e^{4t}$
• $y_p'''=(64At +48A+64B)e^{4t}$

代入算子后提取$e^{4t}$，整理得：
$$
(6At +11A+6B)e^{4t}
$$

和右边$t e^{4t}$比较系数，同样得到：

• $6A=1 \implies A=\frac{1}{6}$
• $11A+6B=0 \implies B=-\frac{11}{36}$

两种方法结果一致，这样就得到了A和B的值啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Horizon Law