三维环面（T³）上仅含单个极小值与极大值的光滑函数存在性及相关Poincaré-Hopf-Morse分析约束问询

我是为了澄清一篇应用莫尔斯理论分类晶体能带范霍夫奇点的论文中公式(32)下方的注释，才提出这个问题的。晶体的能量是动量的实值光滑函数，而d维晶体的动量空间拓扑等价于d维环面。

背景回顾 #

先快速梳理下基础内容：

Poincaré-Hopf定理将流形$M$上可微向量场$v$的孤立零点的指标和与$M$的欧拉示性数$\chi(M)$联系起来，即：
$$\sum_i\textrm{index}_{x_i}(v)=\chi(M),$$
其中$x_i\in M$是孤立零点的位置（注：这里假定$v$的所有零点都是孤立的）。

针对d维环面$T^{d$（也就是d个$S}1$的乘积），我们可以用上述定理轻松验证$\chi(T^{d)=0$：只需要在$T}d$上取一个沿环面某个组成圆环绕的常向量场，这个向量场显然没有零点，指标和为0，因此欧拉示性数为0。

核心疑问的由来 #

我一直在思考$\chi(T^d)=0$对$Td$上的莫尔斯理论有什么影响，尤其是它是否强制要求$T^d$上的光滑函数$f$必须存在鞍点。更具体地说：

• 取流形$M$上的足够光滑的函数$f$，我们可以把$f$的梯度作为向量场$v$（当然$f$需要满足一些限制，确保梯度仅在$M$的孤立点处取零）。这样一来，$f$的临界点（极小值、极大值、鞍点）就对应向量场的孤立零点。

对于普通临界点，$f$在临界点$x_0$附近可以展开为：
$$f(x) = f(x_0) + \sum_{ab} H_{ab}(x_0) x_a x_b$$
其中$H(x_0)$是$x_0$处的海森矩阵，$x_a$是以临界点为中心的局部坐标。这类临界点的指标（对应梯度向量场零点的指标）一般满足：
$$\textrm{index}_{x_0} (f)=\textrm{sign} \det H(x_0)$$

另外有个基本事实：任何有界函数$f$必然至少有一个极小值和一个极大值。

分维度的观察 #

• d=2的情况：极小值和极大值的指标都是+1，鞍点的指标是-1。因为任何有界函数至少有一个极小值和一个极大值，它们的指标和为+2，根据Poincaré-Hopf定理，必须存在总指标为-2的额外临界点。如果只有普通临界点，就需要两个鞍点来补偿，比如$\cos x + \cos y$（$x,y \in [0,2\pi]$）就是一个典型例子。
• d=3的情况：极小值和极大值的指标相反，它们的净指标已经是0。照理说Poincaré-Hopf定理似乎暗示不需要鞍点（三维中鞍点的指标可以是+1或-1），而且我提到的那篇论文的注释也确实表明这一点。但我一直构造不出$T^3$上仅含单个极小值和单个极大值的光滑函数$f$的具体例子。

具体问题 #

有没有可能找到$T^3$上的光滑函数$f$，它的临界点只有一个极小值和一个极大值？如果不行，那这种Poincaré-Hopf-莫尔斯分析中是不是还有一些额外的约束条件？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tomáš Bzdušek