关于连续分布随机变量期望估计及次高斯尾证明中积分放缩的疑问
嘿，我来给你拆解这个放缩的逻辑，其实核心是把积分拆成分段区间的估计，再用概率的形式重新表达，咱们一步一步来理清楚：
首先看第一个不等式：
$$ \int_{\frac{1}{u}}^{\infty} e^{ut} dF(t) \leq \sum_{k=1}^{\infty} e^{k+1} \operatorname{Prob}\left[X \geq \frac{k}{u} \right] $$
第一步：拆分积分区间
我们把积分的区间$[\frac{1}{u}, \infty)$拆成无穷多个相邻的子区间：
$$ \left[\frac{1}{u}, \frac{2}{u}\right), \left[\frac{2}{u}, \frac{3}{u}\right), ..., \left[\frac{k}{u}, \frac{k+1}{u}\right), ... $$
这样原积分就可以写成这些子区间上积分的和：
$$ \int_{\frac{1}{u}}^{\infty} e^{ut} dF(t) = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{\frac{k}{u}}^{\frac{k+1}{u}} e^{ut} dF(t) $$
第二步：每个子区间上放大指数项
在子区间$\left[\frac{k}{u}, \frac{k+1}{u}\right)$里，$t$满足$\frac{k}{u} \leq t < \frac{k+1}{u}$，两边乘$u$（这里默认$u>0$，毕竟是矩生成函数的参数，通常取正），得到$k \leq ut < k+1$。
因为指数函数$ex$是严格递增的，所以$e{ut} \leq e^{k+1}$——这一步是把每个子区间里的指数项，放大到该区间右端点对应的指数值。
第三步：用尾概率替换区间概率
把这个放大后的指数项提到积分外面，每个子区间的积分就变成：
$$ \int_{\frac{k}{u}}^{\frac{k+1}{u}} e^{ut} dF(t) \leq e^{k+1} \int_{\frac{k}{u}}^{\frac{k+1}{u}} dF(t) $$
而积分$\int_{\frac{k}{u}}^{\frac{k+1}{u}} dF(t)$就是随机变量$X$落在这个子区间的概率$\operatorname{Prob}\left[\frac{k}{u} \leq X < \frac{k+1}{u}\right]$。
显然，这个概率肯定小于等于$\operatorname{Prob}\left[X \geq \frac{k}{u}\right]$——因为后者包含了所有$X$大于等于$\frac{k}{u}$的情况，自然覆盖了当前子区间的概率。
第四步：合并所有项
把每个子区间的放缩结果加起来，就得到了：
$$ \int_{\frac{1}{u}}^{\infty} e^{ut} dF(t) = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{\frac{k}{u}}^{\frac{k+1}{u}} e^{ut} dF(t) \leq \sum_{k=1}^{\infty} e^{k+1} \operatorname{Prob}\left[X \geq \frac{k}{u}\right] $$
后面的第二步放缩，就是用了次高斯随机变量的尾概率界$\operatorname{Prob}\left[X \geq \frac{k}{u}\right] \leq e{-ak2/u^2}$（这是次高斯变量的定义性质之一），然后把指数项合并，得到最终的求和式，方便后续判断收敛性或者进一步估计矩生成函数的上界。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者diane
