从欧拉-拉格朗日方程推导能量泛函的方法及给定PDE对应能量泛函的求解咨询

嗨，我来帮你理清这个问题的思路哈～

首先我们得回忆下能量泛函和欧拉-拉格朗日方程的对应关系：对于定义在函数空间上的泛函
$$E(u) = \int_\Omega L(x, u, \nabla u) dx$$
它对应的欧拉-拉格朗日方程是
$$\frac{\partial L}{\partial u} - \nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla u} = 0$$
也就是可以改写为
$$\nabla \cdot \frac{\partial L}{\partial \nabla u} = \frac{\partial L}{\partial u}$$

现在我们把这个形式和你给出的PDE做匹配：
$$-\nabla \cdot \left( \frac{\nabla u}{|\nabla u|} \right) = f(u)$$
先把它调整成和欧拉-拉格朗日方程一致的形式：
$$\nabla \cdot \left( \frac{\nabla u}{|\nabla u|} \right) = -f(u)$$

接下来分两部分对应泛函中的$L$项：

1. 处理PDE左侧的散度项 #

观察到方程左侧的散度里面的部分是$\frac{\nabla u}{|\nabla u|}$，这正好是$|\nabla u|$关于$\nabla u$的偏导数：
设$\mathbf{p} = \nabla u$，那么$L_1(\mathbf{p}) = |\mathbf{p}|$，对$\mathbf{p}$求偏导可得
$$\frac{\partial L_1}{\partial \mathbf{p}} = \frac{\mathbf{p}}{|\mathbf{p}|} = \frac{\nabla u}{|\nabla u|}$$
完全匹配PDE左侧散度内的项。你之前写的$\frac{1}{2}|\nabla u|$其实也没问题——因为泛函乘以任意非零常数，其欧拉-拉格朗日方程不会改变（求变分时系数会被提出来，等式两边除以系数就回到原方程），所以这部分的$L$项可以是$|\nabla u|$或者$\frac{1}{2}|\nabla u|$，看你习惯。

2. 处理PDE右侧的$f(u)$项 #

根据调整后的欧拉-拉格朗日方程形式，我们有$\frac{\partial L}{\partial u} = -f(u)$。要找到对应的$L$项，只需要对$u$积分即可：
设$F(u)$是$f(u)$的一个原函数（也就是满足$F'(u) = f(u)$），那么这部分的$L$项就是$-F(u)$。

3. 合成完整的能量泛函 #

把两部分的$L$项加起来，完整的能量泛函就是：
$$E(u) = \int_\Omega \left( |\nabla u| - F(u) \right) dx$$
如果你倾向于用你之前的$\frac{1}{2}|\nabla u|$，那泛函就是：
$$E(u) = \int_\Omega \left( \frac{1}{2}|\nabla u| - F(u) \right) dx$$

举个实际例子帮你理解：如果$f(u) = ku$（$k$是常数），那么原函数$F(u) = \frac{1}{2}ku^2$，对应的泛函就是
$$E(u) = \int_\Omega \left( |\nabla u| - \frac{1}{2}ku^2 \right) dx$$
你可以尝试对这个泛函求变分，验证一下是不是能得到你给出的PDE哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者User124356