关于集合A={1,2,3}上等价关系的两类疑问

嘿，你的理解其实挺到位的，咱们一步步把这两个问题掰扯清楚～

问题一：为什么{(1,1)}不是A={1,2,3}上的等价关系？ #

完全没错！你抓准了等价关系的核心要求之一——自反性。等价关系必须同时满足三个性质：自反性、对称性、传递性，其中自反性明确要求：

对于集合A中的每一个元素a，有序对(a,a)都必须属于这个关系。

因为A={1,2,3}，所以关系里必须同时包含(1,1)、(2,2)、(3,3)这三个自反对，缺一个都不行。{(1,1)}只覆盖了元素1的自反对，漏掉了2和3的，自然不满足自反性，也就不是A上的等价关系。

问题二：{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}是不是符合要求的等价关系？ #

先看你的需求：要构造一个等价关系，使得等价类里的元素都满足“既不是3，也不是3的倍数”（不过A里只有3是3的倍数）。咱们来拆解分析：

• 这个关系在子集{1,2}上是完全符合等价关系的：自反性（包含(1,1)、(2,2)）、对称性（(1,2)和(2,1)成对出现）、传递性（比如(1,2)和(2,1)能推出(1,1)，而(1,1)确实在关系里）。
• 但如果是定义在**整个集合A={1,2,3}**上的话，这个关系就不成立了——因为自反性要求必须包含(3,3)！等价关系得覆盖集合里的每一个元素，不能把3排除在外。

所以如果要在A上构造符合你需求的等价关系，只需要给你的关系加上(3,3)，也就是关系变成{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)}。这样一来：

• {1,2}构成一个等价类（满足“不是3且不是3的倍数”），{3}单独构成一个等价类；
• 整个关系也满足等价关系的三个性质：自反性覆盖了所有元素，对称性和传递性也都成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tanishk Goyal