商映射下闭子空间像的闭性证明问题求助

大家好，我最近在做泛函分析相关的题目时碰到了一个卡壳的问题，想请教一下各位前辈：

设$X$是赋范向量空间，$V \subset X$是闭子空间，$W \subset X$是有限维子空间，且满足以下两个条件：

• $V \cap W = {0}$；
• 存在实数$C$，使得对任意的$x \in V, y \in W$，都有$\lVert x \rVert + \lVert y \rVert ≤ C \lVert x − y \rVert$。
  令$q : X \rightarrow X/W$为商映射，我需要证明$q(V)$是$X/W$中的闭集。

我一开始的思路是用序列法，试图证明$q(V)$是序列闭集——也就是任取$q(V)$中的收敛序列，证明它的极限也在$q(V)$里，但折腾了半天发现这个思路完全没用到题目给的那个不等式，这显然不太对，肯定是我选的方法有问题。

有没有大佬能指点一下正确的方向呀？真的非常感谢各位的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者yrual