双曲三角恒等式证明问题求助
最近遇到这么一个恒等式证明的问题，一开始还写错了式子（漏掉了虚数单位i），现在整理清楚后想和大家交流推导过程：
已知 ( x=2\cos(\alpha)\cosh(\beta) ) 且 ( y=2\sin(\alpha)\sinh(\beta) )，证明：
$$\sec(\alpha+i\beta)+\sec(\alpha-i\beta)=\frac{4x}{x2+y2}$$
我试着自己推导了一下，步骤大概是这样的：
先把正割转换成余弦的倒数，左边原式可以写成：
$$\frac{1}{\cos(\alpha+i\beta)} + \frac{1}{\cos(\alpha-i\beta)}$$对这个式子通分，得到：
$$\frac{\cos(\alpha-i\beta) + \cos(\alpha+i\beta)}{\cos(\alpha+i\beta)\cos(\alpha-i\beta)}$$处理分子：利用和差化积公式(\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right))，代入(A=\alpha+i\beta)，(B=\alpha-i\beta)，可得：
$$\cos(\alpha-i\beta) + \cos(\alpha+i\beta) = 2\cos\alpha \cdot \cos(i\beta)$$
而根据双曲函数的性质，(\cos(i\beta)=\cosh\beta)，所以分子最终简化为(2\cos\alpha\cosh\beta)。结合已知条件(x=2\cos\alpha\cosh\beta)，分子其实就是(x)。处理分母：把(\cos(\alpha+i\beta))和(\cos(\alpha-i\beta))用复数余弦的展开式展开：
$$\cos(\alpha+i\beta)=\cos\alpha\cosh\beta - i\sin\alpha\sinh\beta$$
$$\cos(\alpha-i\beta)=\cos\alpha\cosh\beta + i\sin\alpha\sinh\beta$$
两者相乘后，虚部会相互抵消，得到：
$$\cos(\alpha+i\beta)\cos(\alpha-i\beta)=(\cos\alpha\cosh\beta)^2 + (\sin\alpha\sinh\beta)^2$$
再代入(x=2\cos\alpha\cosh\beta)和(y=2\sin\alpha\sinh\beta)，可以把上式转化为：
$$\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \frac{x^2 + y^2}{4}$$最后把分子分母代入通分后的式子：
$$\frac{x}{\frac{x^2 + y^2}{4}} = \frac{4x}{x^2 + y^2}$$
这就和右边的式子完全一致了！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者0x13
