射影簇（如椭圆曲线）的R-有理点在概形论射影空间点定义下的结构问询

各位好，我最近在梳理概形论中射影空间有理点的定义，结合闭子簇的有理点时遇到了一个卡住的问题，想请大家帮忙解答：

先明确基础设定：
假设 $V \subset \mathbb P^n$ 是域 $k$ 上射影空间的闭子簇，比如一个具体例子：取 $n=2$，$k = \mathbb F_5$，$V$ 由齐次方程 $Y^2 Z = X^3 + Z^3$ 定义，这是一条椭圆曲线。

对于任意 $k$-代数 $R$，我们有自然的嵌入 $V(R) \subset \mathbb P^n(R)$。而概形论中，$\mathbb P^n(R)$ 的 $R$-有理点被描述为等价类 $(L, (s_0, \dots, s_n))$，满足：

• $L$ 是 $\mathrm{Spec}(R)$ 上的线丛
• $s_0, s_1, \dots, s_n$ 是 $L$ 的整体截面（也就是 $R$-模 $L(R)$ 中的元素）
• 这些截面能生成线丛 $L$：换句话说，对 $\mathrm{Spec}(R)$ 的每个点，至少有一个 $s_i$ 在该点的局部茎中是单位元

我的核心问题是：
在这个等价类的定义下，$V(R)$ 作为 $\mathbb P^n(R)$ 的子集，具体应该怎么刻画？

我目前的障碍是：这些截面 $s_i$ 是 $R$-模的元素，不是环的元素，没法直接像仿射情形那样做乘法运算——只有当 $L = O_{\mathrm{Spec}(R)}$ 是平凡线丛时（这在 $R$ 的Picard群平凡时自动成立），截面才是 $R$ 的元素，才能直接代入闭子簇的齐次方程。但一般情形下，我完全不知道该怎么把 $V$ 的方程和线丛截面联系起来，也就没法描述 $V(R)$ 里的元素到底满足什么条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alphonse