关于正则公理的两种形式等价性及满足特定公式的φ(x)类型的技术问询

嗨，我来帮你理清这个问题！首先得明确，你看到的这个表述是正则公理的归纳法形式，而常规的正则公理（也叫基础公理）是说“每个非空集合都有一个∈-极小元”——这俩确实是等价的，我慢慢给你拆解。

什么样的$\varphi(x)$能满足这个归纳式？ #

你举的“是小于11的偶数”这个性质不适用，因为它是自然数的算术属性，和集合的∈结构完全无关。能满足(1)的$\varphi(x)$必须是关于集合的∈-归纳性质：这类性质的特点是，如果一个集合的所有元素都满足它，那么这个集合本身也满足它。

给你几个符合要求的$\varphi(x)$例子：

• $\varphi(x)$：“x是良基集”（不存在无穷递降的∈链 $x \ni x_1 \ni x_2 \ni ...$）
• $\varphi(x)$：“x中所有元素的元素都属于某个固定集合S”
• $\varphi(x)$：“x的传递闭包中没有循环（即不存在$y \in x$使得$y \in y$）”

两种形式的等价性证明 #

我们可以双向推导来验证它们是等价的：

从常规正则公理推归纳形式

假设常规正则公理成立，我们要证明：如果“对任意集合x，若x的所有元素都满足$\varphi$，则x满足$\varphi$”，那么所有集合都满足$\varphi$。
反证：如果存在不满足$\varphi$的集合，我们取所有这类集合组成的非空类（利用分离公理可以得到一个具体的非空集合）。根据常规正则公理，这个类里一定有一个∈-极小元$a$——$a$的所有元素都不在这个反例类里，也就是都满足$\varphi$。根据归纳前提，$a$应该满足$\varphi$，这就矛盾了。所以归纳形式成立。

从归纳形式推常规正则公理

我们取$\varphi(x)$为“x是良基集”（即不存在无穷递降∈链以x开头）。先验证归纳前提：如果x的所有元素都是良基的，那x一定是良基的——不然就会存在$x \ni x_1 \ni x_2 \ni ...$，那$x_1$就不是良基的，和前提矛盾。
根据归纳形式，所有集合都是良基的，这就等价于常规正则公理（因为正则公理的核心就是排除非良基的集合，比如循环集合$y \in y$或者无穷递降∈链）。

关于你提到的集合定义的困惑 #

你说“集合的意义完全由内容定义”，这是外延公理的内容，和正则公理的两种形式并不冲突：外延公理负责判断两个集合是否相等，正则公理负责约束集合的∈结构，两者是集合论公理系统里不同的组成部分，各司其职。你举的例子里，那个由小于11的偶数组成的集合本身不是偶数，这很正常——因为你选的$\varphi$根本不是集合的结构性质，所以归纳规则本来就不要求它对集合本身成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user239186