求证柯西分布的矩生成函数（MGF）不存在的方法咨询

嘿，你的思路其实完全没问题！我们可以顺着这个方向把证明补完，另外也有更直接的推导路径，我给你一步步拆解清楚：

先补完你当前的推导逻辑 #

你已经把MGF的积分缩小到了$\frac{1}{\pi} \int_2^\infty x^{-3} e^{tx} dx$，接下来我们分t的取值情况讨论：

• 当$t > 0$时：指数函数的增长速度远远快于多项式的衰减速度。我们可以找一个对比基准，比如$\int_2^\infty e^{(t/2)x} dx$，这个积分显然是发散的（计算结果是$\frac{2}{t}e^{{(t/2)x}\big|_2}\infty$，趋向于无穷大）。
  当x足够大时，$tx - 3\ln x$会趋向于正无穷（因为线性项的增长远快于对数项），所以必然存在某个$M > 2$，当$x > M$时，$x^{-3}e{tx} = e^{tx - 3\ln x} > e^{(t/2)x}$。由于大的积分发散，那么更小的被积函数对应的积分也必然发散。
• 当$t < 0$时：做变量替换$y = -x$，积分会转化为$\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{-2} \frac{e^{-ty}}{1+y2} dy$，此时$-t > 0$，用上面完全相同的逻辑，就能证明这个积分同样发散。
• 当$t = 0$时：MGF的值为1，是存在的，但MGF的定义要求在$t=0$的某个邻域内都存在，而我们已经证明了只要$t \neq 0$，积分就发散，所以柯西分布的MGF整体不存在。

更直接的推导方法 #

其实我们可以直接从原积分入手：
$$M(t) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{tx}}{1+x2} dx$$

• 当$t > 0$时，考虑$x \to +\infty$的部分，$\frac{e^{tx}}{1+x2}$的增长趋势和$e^{{tx}$几乎一致，而$\int_a}\infty e^{tx} dx$是发散的，因此原积分必然发散。
• 当$t < 0$时，考虑$x \to -\infty$的部分，$e^{tx} = e^{{|t|(-x)}$，增长趋势和$e}{|t||x|}$一致，$\int_{-\infty}^{-a} e^{|t||x|} dx$同样发散，所以原积分也发散。

关于你提到的“矩不存在≠MGF不存在”的点 #

你这个观察非常关键！确实，所有矩不存在只是说明MGF在$t=0$处的各阶导数不存在，但MGF不存在的核心原因是积分在$t \neq 0$时根本不收敛，这和特征函数的情况完全不同：特征函数里的$e^{{itx}$是有界的（模始终为1），所以积分能收敛，但$e}{tx}$当$t \neq 0$时会在某个数轴方向趋向无穷，直接导致积分“爆炸”，这就是两者的本质区别。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者gt6989b