三角函数定积分计算错误排查求助

大家好，我在计算下面这个三角函数定积分时，得出的结果和正确答案对不上，反复检查步骤也没找到问题，想请各位帮忙看看哪里出错了，非常感谢！

我要计算的积分是：
$$\int^\frac \pi3_ \frac \pi6 \frac1{(\sqrt3 \cos{x} +\sin{x})^2}dx$$

我的计算步骤如下：
$$=\frac 12\int^\frac \pi3_ \frac \pi6 \frac 1{\cos^2{(x-\frac \pi6)}}dx$$
$$=\frac 12\int^\frac \pi3_ \frac \pi6 \sec^2{\left(x-\frac \pi6\right)}dx$$
$$=\frac 12 \left[\tan{\left(x-\frac \pi6\right)}\right]^\frac \pi 3 _\frac \pi6$$
$$=\frac 1{2\sqrt3}$$

但这个积分的正确答案是$\frac 1{4\sqrt3}$，实在搞不清自己哪里算错了，有没有大佬能帮我指出问题呀？谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Angeline0320