关于半径为$1/n^p$（$p>2$且为整数）的切x轴圆链水平长度的求解问询

最近我发现了一个挺有意思的几何结论：如果有一串半径为$1/n^2$（$n\in\mathbb{N}$）的圆，所有圆都与x轴相切，那么这串圆组成的链的总水平长度恰好是2。

这个结论可以通过一个关键事实来证明：半径为1的圆会与这串圆链的另一侧相切。具体推导可以用笛卡尔圆定理——如果三个半径分别为$1/n^{2$、1和“半径无穷大”的圆（也就是x轴，毕竟直线可以看作半径无穷大的圆）两两相切，那么半径为$1/(n+1)}2$的圆也会与这三个圆都相切，由此就能推导出整个链的水平长度。

现在我想把这个结论推广到更一般的情况：如果这串圆的半径是$1/n^p$（$n\in\mathbb{N}$，$p>2$是整数常数），同样都与x轴相切，那这串圆链的总水平长度是多少呢？

我的尝试 #

• 首先想到了笛卡尔圆定理，但发现它好像只适用于$p=2$的情况，对于其他$p$值，我完全搞不清圆链的另一侧会和什么曲线相切。
• 后来我通过相邻两个圆的圆心坐标，用勾股定理推导出，这串圆链的总水平长度应该是下面这个无穷级数：
  $$\sum\limits_{k=1}^\infty 2(k^2+k){-p/2}$$
  可问题是，我完全不知道该怎么计算这个级数的和。

为了方便大家直观理解，这里附上半径为$1/n^3$的圆链示意图：
（注：此处应有对应圆链的可视化图像）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dan