咨询：用Fenwick Tree与快速矩阵乘法实现O(logn)递推序列查询结构是否可行

你的思路完全可行，Fenwick树（树状数组）结合矩阵乘法恰好能满足O(logn)时间处理两类查询的需求，具体实现逻辑如下：

核心转化：递推关系转矩阵形式 #

对于递推公式 f(n) = (a(n)*f(n-1) + b(n)*f(n-2)) mod M，可以将其转化为矩阵乘法形式：

[ f(n)   ]   = [ a(n)  b(n) ] * [ f(n-1) ]
[ f(n-1) ]     [ 1      0    ]   [ f(n-2) ]

我们把每个n对应的2x2矩阵记为 M(n) = [[a(n), b(n)], [1, 0]]。结合初始条件 f(-2)=1, f(-1)=1，计算f(k)等价于：

1. 计算前缀矩阵乘积 P(k) = M(k) * M(k-1) * ... * M(0)
2. 用 P(k) 乘以初始向量 [f(-1), f(-2)]^T = [1, 1]^T，结果的第一个元素就是 f(k) mod M

Fenwick树的作用 #

Fenwick树适合维护支持单点更新、前缀查询的可结合运算（这里是矩阵乘法），完美匹配你的两类查询：

• 单点更新（修改(a(i),b(i))）：直接更新Fenwick树中对应位置的矩阵M(i)，时间复杂度O(logn)（每次更新涉及O(logn)个节点的矩阵乘积更新）
• 查询f(k)：通过Fenwick树查询前缀k的矩阵乘积P(k)，再与初始向量相乘得到结果，矩阵乘法是O(1)（仅2x2矩阵运算），总时间复杂度O(logn)

关键注意事项 #

• 矩阵乘法顺序：矩阵乘法不满足交换律，Fenwick树中每个节点存储的区间乘积必须严格按照递推顺序排列（即前缀乘积是M(k)M(k-1)...*M(0)，而非反向）
• 模运算贯穿始终：所有矩阵元素的计算都要在mod M下进行，避免数值溢出并保证结果正确性
• 单位元初始化：Fenwick树的初始节点值需设为2x2单位矩阵[[1,0],[0,1]]，因为单位矩阵与任意矩阵相乘不改变其值，符合前缀乘积的初始状态

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user25330399