求与曲线相切于两个不同点的直线方程的方法咨询（含具体曲线$y = x^3 - x^4$案例）

Hey，我完全理解你找不到答案的无奈，毕竟Madas老师的资料现在没法问到答案了，别着急，咱们一步步来解决这个问题。

核心思路梳理 #

如果直线$y=mx+c$（这里把直线常数项换成$c$，避免和方程里的常数项混淆）和曲线$y=x^3 - x^4$相切于两个不同点，本质上意味着联立后的多项式方程有两个不同的二重根（相切的点对应方程的二重根）。接下来咱们一步步推导：

步骤1：联立直线与曲线方程 #

把直线和曲线的表达式联立：
$$x^3 - x^4 = mx + c$$
整理成标准的四次多项式形式：
x^4 - x^3 + mx + c = 0

步骤2：设定重根形式并展开 #

假设两个切点的横坐标为$a$和$b$（$a≠b$），那么四次方程可以表示为两个二重根的乘积：
$$(x-a)^2(x-b)2 = 0$$
将其展开：
$$x^4 - 2(a+b)x^3 + [(a+b)^2 + 2ab]x^2 - 2ab(a+b)x + (ab)^2 = 0$$

步骤3：对比系数求解参数 #

把展开后的式子和我们整理的四次方程x^4 - x^3 + 0x^2 + mx + c = 0对比各项系数，得到4个等式，逐一求解：

• 三次项系数：$-2(a+b) = -1$ → $a+b = \frac{1}{2}$
• 二次项系数：$(a+b)^2 + 2ab = 0$，代入$a+b=\frac{1}{2}$，得$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2ab = 0$ → $ab = -\frac{1}{8}$
• 一次项系数：$-2ab(a+b) = m$，代入$a+b=\frac{1}{2}$和$ab=-\frac{1}{8}$，计算得$m = -2\times\left(-\frac{1}{8}\right)\times\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
• 常数项：$(ab)^2 = c$，代入$ab=-\frac{1}{8}$，得$c = \left(-\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64}$

步骤4：验证结果 #

把得到的直线方程$y=\frac{1}{8}x + \frac{1}{64}$代入曲线方程，整理后得到的四次方程为$\left(x - \frac{1+\sqrt{3}}{4}\right)^2\left(x - \frac{1-\sqrt{3}}{4}\right)^2=0$，确实有两个不同的二重根，说明这条直线和曲线相切于两个不同点，完全符合要求。

你之前尝试联立方程和求导的思路是对的，大概率是在处理重根条件时没理清逻辑，或者符号混淆了，现在应该能明白整个推导过程啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Subeen Regmi