关于对象间可加态射集合的概念名称及对象所需最小结构的技术问询

嗨，这个问题抓得很准！你留意到的这种态射能相加、且态射集合自身还能形成代数结构的情况，其实对应预加法范畴（Preadditive Category）（也常被称为Ab-富集范畴（Ab-enriched Category）），我给你详细拆解下：

核心概念解释 #

预加法范畴的核心定义是：

• 对于范畴中的任意两个对象$X$、$Y$，所有从$X$到$Y$的态射构成的集合$\text{Hom}(X,Y)$本身是一个阿贝尔群；
• 态射的复合运算要和这个群加法兼容，也就是满足分配律：
  • $f \circ (g + h) = f \circ g + f \circ h$
  • $(g + h) \circ k = g \circ k + h \circ k$
    这里的$f,g,h,k$都是范畴中符合复合条件的态射。

对应你举的例子 #

• 向量空间范畴$\mathbf{Vect}$是典型的预加法范畴：任意两个向量空间$X,Y$之间的线性变换集合$\text{Hom}(X,Y)$本身就是向量空间（自然也是阿贝尔群），而且线性变换的复合完全满足上面的分配律。
• 阿贝尔群范畴$\mathbf{Ab}$同样符合：群同态的集合$\text{Hom}(X,Y)$是阿贝尔群，同态的复合也和加法兼容。

关于对象所需的最小结构 #

从范畴层面来说，$X$和$Y$所在的范畴需要是预加法范畴。如果单看对象本身的结构：其实预加法范畴里的每个对象都会自带适配态射加法的结构，但核心要求还是落在态射集合的阿贝尔群性质以及复合的兼容性上——简单来说，只要范畴满足预加法的条件，对象自然会有支撑态射加法的底层结构。

回应你提到的其他概念 #

你之前考虑的幺半范畴（monoidal category）确实是用来处理对象之间的张量积操作，和态射的加法不是一个维度的概念；而对偶空间只是预加法范畴里的一个特例（当$Y$是域这个特殊向量空间时），但预加法范畴覆盖的范围要宽泛得多，比如阿贝尔群范畴就和对偶空间没有直接关联。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user519413