动力系统中分形吸引盆相关定理的证明正确性问询

各位好，我最近在推导一个关于动力系统的定理，但对自己的证明思路是否正确拿不准，尤其是涉及分形吸引盆的场景，想请大家帮忙梳理一下问题所在。

待证定理 #

定理：设$(M,\mathbb{R},F)$是光滑紧流形$M$上的动力系统，其动力学方程为$\dot{x}=F(x)$。假设该系统有两个吸引子$A_1,A_2$，对应的吸引盆分别为$B(A_1), B(A_2)$。则存在无穷多个动力系统，它们拥有相同的固定吸引子$A_1$，但在吸引子$A_2$上的动力学可以是任意的。

我的证明过程 #

1. 根据吸引盆的定义，$B(A_1)$和$B(A_2)$都是开集，因此补集$C_1=M \backslash B(A_1)$是$M$的闭子集。由于紧集的闭子集必然也是紧集，且$B(A_2) \subset C_1$，我们可以构造一个 bump 函数$\sigma_{C_1}:C_1 \rightarrow \mathbb{R}$，使得它在$B(A_2)$上取值为1，在$C_1$外取值为0。
2. 构造新的动力学方程：
   $$\dot{x}=F(x)+\sigma_{C_1} \cdot G(x)$$
   （注：原推导中笔误写成了$\sigma_{C_2}$，这里修正为$\sigma_{C_1}$）
3. 这个新方程在$B(A_1)$上满足$\dot{x}=F(x)$，因此吸引子$A_1$保持不变；而在$B(A_2)$上满足$\dot{x}=F(x)+G(x)$，其中$G$是任意光滑函数。由于$G$可以任意选取，因此理论上存在无穷多个满足条件的动力系统。（这里默认了不相交的吸引子对应不相交的吸引盆）

我的疑问点 #

我不确定这个证明是否站得住脚，尤其是考虑到很多动力系统存在分形吸引盆的情况：

• 如果$B(A_1)$和$B(A_2)$都是分形，直觉上这个证明应该不成立，因为分形集合的补集上应该无法构造光滑的bump函数？
• 另外，分形通常是闭集，但根据定义吸引盆是开集，这是不是本身就存在矛盾？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NicAG