含x、y乘积项的代数项化简及二元方程变量互表示求解咨询

别担心，这种带交叉乘积项的方程卡壳太正常啦！我来一步步帮你理清楚~

先从原方程入手：
$$ x^2 -2xy = y - y^2 $$

第一步：整理方程，凑完全平方 #

把所有项移到左边，让右边为0：
$$x^2 - 2xy + y^2 - y = 0$$
你看前三项$x^2 - 2xy + y^2$，这是标准的完全平方公式，也就是$(x - y)^2$，所以方程可以简化成：
$$(x - y)^2 = y$$

求x关于y的表达式 #

• 首先要注意，平方数的结果是非负的，所以右边的$y$必须满足$y \geq 0$，否则方程没有实数解
• 对等式两边开平方，得到：$x - y = \pm\sqrt{y}$
• 最后移项就能得到x的表达式：
  $$x = y \pm \sqrt{y} \quad (y \geq 0)$$

求y关于x的表达式 #

如果要把y用x表示，我们可以把原方程整理成关于y的二次方程：
把所有项按y的降幂排列：
$$y^2 - (2x + 1)y + x^2 = 0$$
这是标准的$ay^2 + by + c = 0$形式，其中$a=1$，$b=-(2x+1)$，$c=x^2$。接下来用二次方程求根公式计算：

1. 先算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入数值后：
   $$\Delta = (2x+1)^2 - 4 \times 1 \times x^2 = 4x^2 +4x +1 -4x^2 = 4x +1$$
   判别式必须非负才有实数解，所以$4x +1 \geq 0$，也就是$x \geq -\frac{1}{4}$
2. 代入求根公式$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得到：
   $$y = \frac{(2x+1) \pm \sqrt{4x+1}}{2} \quad (x \geq -\frac{1}{4})$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joe