关于极限不等式推导错误的定位及修正方案咨询

嗨，我来帮你梳理推导里的问题，再说说怎么顺着你的思路修正~

一、推导里的两个核心错误 #

• 错误1：随意拆分不定式的极限乘积
  你第二步把$\lim\limits_{n\to \infty}\left| \frac{1}{3n} * \sum_{i=1}^{3n} (i)^{\frac{3}{n}}\right|$拆成两个极限的乘积，但极限拆分的前提是两个极限都存在且为有限值。这里$\lim\limits_{n\to \infty} \left| \frac{1}{3n} \right|=0$，而$\lim\limits_{n\to \infty} \left| \sum_{i=1}^{3n} i^{\frac{3}{n}} \right|$是趋向无穷大的（每一项$i^{3/n}\geq1$，求和有3n项，和至少为3n），属于$0\times\infty$的不定式，完全不能直接拆分乘积的极限，这是最关键的问题。

• 错误2：不合理替换求和项
  第三步把$i^{{\frac{3}{n}}$直接替换成1，这里的问题是：虽然对固定的$i$，当$n\to\infty$时$i}{3/n}\to1$，但这里的$i$是从1到3n的变量（比如$i=3n$时，$(3n)^{3/n}=e{\frac{3\ln(3n)}{n}}$确实趋向1），但不能直接把所有求和项都当成1——求和项数和n正相关，直接替换会丢失关键细节，导致结果看似正确但推导逻辑完全错误。

二、顺着你的思路修正的方案 #

你的核心思路应该是想用放缩（比如算术平均相关的不等式）来估计极限，那我们可以用夹逼准则来修正，既符合你的思路，又避免错误：

1. 先约束$i^{3/n}$的范围：
   对$1\leq i\leq3n$，显然有$1^{3/n}\leq i^{{3/n}\leq(3n)}{3/n}$。而我们可以先计算$\lim\limits_{n\to\infty}(3n)^{3/n}$：
   $$\lim\limits_{n\to\infty}(3n)^{{3/n}=\lim\limits_{n\to\infty}e}{\frac{3\ln(3n)}{n}}=e^0=1$$
   （因为$\ln n$的增长速度远慢于n，$\frac{\ln(3n)}{n}\to0$）

2. 对求和项进行夹逼：
   $$\sum_{i=1}^{3n}1 \leq \sum_{i=1}^{3n}i{3/n} \leq \sum_{i=1}^{3n}(3n){3/n}=3n\cdot(3n)^{3/n}$$

3. 两边除以3n后取极限：
   $$1 \leq \frac{1}{3n}\sum_{i=1}^{3n}i{3/n} \leq (3n)^{3/n}$$
   当$n\to\infty$时，右边极限为1，左边极限也为1，根据夹逼准则：
   $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{3n}\sum_{i=1}^{3n}i{3/n}=1$$

4. 回到最初的原极限：
   如果你是用算术-几何均值不等式（AM≥GM）得到的原不等式，其实可以结合对数更直接验证结果：
   令$L=\lim\limits_{n\to\infty}(3n)!^{1/n2}$，取对数得$\ln L=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(3n)!}{n^2}$，用斯特林公式$\ln k! \sim k\ln k -k$，则：
   $$\ln(3n)! \sim 3n\ln(3n)-3n$$
   代入后$\frac{\ln(3n)!}{n^2}\sim\frac{3\ln(3n)}{n}\to0$，所以$\ln L=0$，即$L=1$，和夹逼的结果一致。

这样修正后，既保留了你想用放缩估计极限的思路，又完全避免了之前的推导错误~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者3299792458777