相邻元素为邻居平均值加1的12项数列最大值的高效求解方法咨询

嘿，你的手动推导思路完全没问题，但确实项数多的时候容易算错还费时间，我来分享个更高效的方法——用线性递推关系来解，不管项数多少都能快速搞定：

第一步：把题目条件转化为递推公式 #

题目说每个中间数是邻居的平均值加1，拿第n项$a_n$（n从1到12）来说，就是：
$$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} + 1$$
两边乘2整理一下，就能得到二阶线性递推式：
$$a_{n+1} = 2a_n - a_{n-1} - 2$$

第二步：求解递推方程 #

这种递推可以拆成齐次解和特解两部分来算：

• 先看齐次方程：$a_{n+1} - 2a_n + a_{n-1} = 0$，特征方程是$r^2 - 2r + 1 = 0$，根是$r=1$（二重根），所以齐次解是$A + Bn$（A、B是待求常数）。
• 再找特解：因为非齐次项是常数-2，我们假设特解是二次函数$Cn^2$，代入递推式计算后，能得到$C=-1$，所以特解是$-n²$。

把齐次解和特解加起来，就是递推方程的通解：
$$a_n = A + Bn - n²$$

第三步：用已知条件求常数A和B #

已知首项$a_1=1$，末项$a_{12}=12$，代入通解列方程组：

1. 当n=1时：$1 = A + B*1 - 1²$ → $A + B = 2$
2. 当n=12时：$12 = A + B*12 - 12²$ → $A + 12B = 156$

解这个方程组很简单：第二个式子减第一个式子得$11B=154$，所以$B=14$，再代入第一个式子得$A=-12$。

这样就得到了数列的通项公式：
$$a_n = -12 + 14n - n²$$

第四步：找最大值 #

这是个开口向下的二次函数，顶点在$n=\frac{14}{2}=7$的位置，所以第7项最大，代入计算：
$$a_7 = -12 + 14*7 - 7² = -12 + 98 - 49 = 37$$
和你手动算的结果完全一致！而且用这个方法，哪怕数列有几十上百项，都能直接用通项公式算出每一项，再也不用一步步推导了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Triple_1