关于集合{1/2, -2/3, 3/4, -4/5,…}的下确界、上确界、最值、内部及闭包的求解问询

我需要求解集合 ${1/2, -2/3, 3/4, -4/5,\ldots}$ 的下确界（$\inf$）、上确界（$\sup$）、最小值（$\min$）、最大值（$\max$），以及它的内部（interior）和闭包（closure）。

目前我确定下确界是$-1$，上确界是$1$，而且因为这两个值都不在集合里，所以最小值和最大值不存在，但我不确定该怎么计算内部和闭包，虽然我知道定义，但实际计算还是有点困惑，希望能得到帮助。

你的初步结论完全正确！先帮你再梳理一遍 #

• 上确界（$\sup$）：$1$。集合的正项是$\frac{n}{n+1}$（$n=1,2,\dots$），这个序列单调递增且无限趋近于$1$，同时集合中所有元素都小于$1$，找不到比$1$更小的上界，所以$1$是上确界。
• 下确界（$\inf$）：$-1$。集合的负项是$-\frac{n+1}{n+2}$（$n=1,2,\dots$），这个序列单调递减且无限趋近于$-1$，集合中所有元素都大于$-1$，找不到比$-1$更大的下界，所以$-1$是下确界。
• 最大值（$\max$）/最小值（$\min$）：不存在。因为$1$和$-1$都不属于这个集合，集合里的元素只能无限接近这两个值，却永远达不到，因此没有最大或最小元素。

内部（Interior）的计算思路 #

先回忆内部点的定义：若点$x$是集合$S$的内部点，必须存在一个以$x$为中心的开区间$(x-\epsilon, x+\epsilon)$，使得这个开区间完全包含在$S$中。

你的集合是一个离散的可数点集——每个元素都是孤立的。比如随便取集合里的一个元素，比如$\frac{1}{2}$，你总能找到足够小的$\epsilon$（比如$\epsilon=0.1$），此时开区间$(0.4,0.6)$里只有$\frac{1}{2}$这一个集合元素，不可能让整个开区间都落在$S$里（毕竟开区间里有无穷多实数，而$S$只有可数个点）。

因此，这个集合没有任何内部点，它的内部是空集，记作$\text{int}(S) = \emptyset$。

闭包（Closure）的计算思路 #

闭包的定义是：集合$S$的闭包等于$S$本身加上它所有的极限点（聚点）。

我们来找这个集合的极限点：

• 正项序列$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6},\dots$的极限是$1$，也就是说，在$1$的任意小邻域里，都能找到集合里的正项元素，所以$1$是一个极限点；
• 负项序列$-\frac{2}{3}, -\frac{4}{5}, -\frac{6}{7},\dots$的极限是$-1$，同理，$-1$的任意小邻域里都有集合的负项元素，所以$-1$也是一个极限点；
• 集合里的每个元素本身不是极限点，因为它们都是孤立的，没有其他集合元素会无限接近它们。

所以集合的闭包就是原集合加上$1$和$-1$，即：
$$\text{cl}(S) = \left{1/2, -2/3, 3/4, -4/5,\ldots\right} \cup {-1, 1}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tuddy09