关于圆盘三角剖分到其边界圆周三角剖分的保顶点单纯映射存在性的技术问询

我在研究单纯复形的映射问题时遇到了一个困惑，先明确一些基础定义：

一个几何对象$G$的三角剖分是一个抽象单纯复形，其几何实现与$G$同胚。

举两个基础例子：

• 以${A,B},{B,C},{C,A}$为面的抽象复形，是圆周$S^1$的三角剖分；
• 以${A,B,C}$为面的抽象复形，是圆盘$B^2$的三角剖分。

现在设定如下：
设$T_2$是$B^2$的任意一个三角剖分，$T_1 \subseteq T_2$是$S^1$的三角剖分（也就是$T_2$的边界对应的三角剖分）。

我的核心问题是：是否存在一个从$T_2$到$T_1$的单纯映射，使得$T_1$的每个顶点都被映射到自身？

我已经尝试了几个例子，发现这样的映射都不存在：

反例1 #

取前面提到的$T_1$（$S^{1$的三角剖分）和$T_2$（$B}2$的三角剖分）：

• 唯一满足“$T_1$顶点映到自身”的映射是恒等映射，但它不是单纯映射——因为它会把$T_2$中的单形${A,B,C}$映射到${A,B,C}$，而这个集合并不是$T_1$中的单形。
• 虽然存在单纯映射（比如$A\to B, B\to B, C\to C$，它把${A,B,C}$映射到$T_1$中的单形${B,C}$），但这个映射不满足“$T_1$顶点映到自身”的要求。

反例2 #

设$T_2$是以${A,B,D},{B,C,D},{C,A,D}$为面的复形（这是$B^{2$的三角剖分），$T_1$还是前面那个$S}1$的三角剖分：

• 满足“$T_1$顶点映到自身”的映射只有三种选择：把内部顶点$D$映射到$A$、$B$或$C$。但这三种映射都不是单纯映射——比如当把$D$映射到$A$时，$T_2$中的单形${D,B,C}$会被映射到${A,B,C}$，而这不是$T_1$中的单形。

我想知道：有没有相关定理可以直接证明，同时满足这两个条件（是单纯映射，且$T_1$的每个顶点都被映射到自身）的映射根本不存在？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Erel Segal-Halevi