关于正态分布下s/σ依概率收敛的证明求助

我被要求证明$s/\sigma$依概率收敛于1，其中$s$是正态分布的样本标准差，$\sigma$是总体标准差。我之前已经证明了$s_n^2$是$\sigma2$的一致估计量，但现在不知道接下来该怎么做，希望能得到帮助🙂。

嗨，别着急，从你已经搞定的结论出发，其实很容易推导出结果的！

这里核心要用到连续映射定理（Continuous Mapping Theorem），这个定理的核心逻辑是：如果随机序列$X_n$依概率收敛到$X$，而函数$g$在$X$的取值范围内是连续的，那么$g(X_n)$也会依概率收敛到$g(X)$。

具体到你的问题，可以拆解成这几步：

• 已知你已经证明了$s_n^2 \xrightarrow{P} \sigma^2$（$s_n2$依概率收敛于$\sigma^2$）
• 我们取函数$g(x) = \sqrt{x}$，这个函数在$x>0$的区间上是连续的，而正态分布的总体方差$\sigma^2$肯定大于0，完全满足连续的条件
• 根据连续映射定理，$\sqrt{s_n^2} = s_n$就会依概率收敛到$\sqrt{\sigma^2} = \sigma$，也就是$s_n \xrightarrow{P} \sigma$

接下来再用依概率收敛的一个基础性质：如果$X_n \xrightarrow{P} a$，$Y_n \xrightarrow{P} b$，且$b \neq 0$，那么$\frac{X_n}{Y_n} \xrightarrow{P} \frac{a}{b}$。

在这里，$s_n \xrightarrow{P} \sigma$，而$\sigma$是一个常数（可以看作是自身依概率收敛的随机变量），所以代入这个性质就能得到：$\frac{s_n}{\sigma} \xrightarrow{P} \frac{\sigma}{\sigma} = 1$，完美得到你需要证明的结论！

顺便提一句，虽然样本来自正态分布，$s_n^2$其实服从和卡方分布相关的分布，但这里完全不需要用到这个额外性质，只用你已经掌握的一致估计结论加上连续映射定理就足够了，是不是很顺畅～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者randomvlad